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フェルミ粒子 (4)

前回はkで表される状態が単一の場合を考えましたが、
今回は、状態が多数ある場合を考えます。

正直、ここはいまいち理解できてないのですが、
フェルミ粒子の最後なので、シッフ[1] に乗っ取って、
メモ書きしておこうと思います。

目標としては、単一状態の時は、
\[
a|n\rangle = n|1-n\rangle
\tag{1.1}
\]\[
a^\dagger|n\rangle = (1-n)|1-n\rangle
\tag{1.2}
\]
であった関係を多数の状態に適用できるように拡張したい。

まず、系の取りうる状態 k を任意の、しかも確定した方法で、1,2,...,k というように順序付けておく。

(ここから勝手な感想)

勝手に順序付けちゃっていいの?と不安になりますが、
「任意の」とあるので、順序付けの方法はどんなルールでもよくて、
何か一つのルールで順序づけたら、その後の議論もその順序で行って、
また別のルールで順序づけた場合には、その後の議論もその順序で行えば、
結果は同じという意味なんでしょうね。

中心力ポテンシャルを扱うときに、勝手に極軸を決めちゃうようなものでしょうか。
極軸を勝手に決めちゃっていいの?と一瞬思いますが、
どのように決めても、最終的に結果は同じということなので。

(勝手な感想おわり)

上式(1)の関係を以下のように拡張する。
\[
a_k |n_1, \cdots, n_k, \cdots\rangle
= \theta_k n_k |n_1, \cdots, 1-n_k, \cdots\rangle
\tag{2.1}
\]\[
a_k^\dagger |n_1, \cdots, n_k, \cdots\rangle
= \theta_k (1-n_k) |n_1, \cdots, 1-n_k, \cdots\rangle
\tag{2.2}
\]ただし、\[
\theta_k = (-1)^{\nu_k}
\tag{3}
\]\[
\nu_k = \sum_{j=1}^{k-1} n_j
\tag{4}
\]とする。
つまり、k 番目の状態に作用させる時に、
k よりも若い番号のすべての状態にある個数の合計の偶奇性に応じて、符号を追加する。
ここで、順序付けの効果が効いてくる。

一例として、$a_k a_l$ と $a_l a_k$ を作用させる場合について考えてみる。
ここで、$k < l$ としておく。
結果が零にならない場合を考えたいので、
あらかじめ、$n_k = n_l = 1$ であるとしておく。

(1) $a_k a_l$ を作用させる場合
まず、$a_l$ が施され、l 番目の状態が空になり、$\theta_l$ の因子がつき、
次に $a_k$ が施されて、k 番目の状態が空になり、$\theta_k$ の因子がつく。

(2) $a_l a_k$ を作用させる場合
まず、$a_k$ が施され、k 番目の状態が空になり、$\theta_k$ の因子がつき、
次に $a_l$ が施されて、l 番目の状態が空になり、$\theta_l$ の因子がつくが、
この場合、$a_l$ が施される時に、l よりも若い番号の k の状態が既に空になっているので、
$\theta_l$ の符号が (1) の場合に対して反転する。

以上から、
\[
a_k a_l |\cdots n_k \cdots n_l \cdots \rangle
= - a_l a_k |\cdots n_k \cdots n_l \cdots \rangle
\tag{5}
\]
任意の状態に対して、このような性質が現れることから、
演算子の反交換関係
\[
\{ a_k, a_l \} = 0
\tag{6}
\]が導かれる。

他の反交換関係についても、同様の考察から導くことができる。

これで、非相対論的シュレディンガーの量子化(第二量子化)については一段落。
次は、ようやく、電磁場の量子化に移りたいと思います。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(下)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>場の量子論 | コメント(0) | 2014/09/08 12:29
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