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球対称ポテンシャル (1)

球対称ポテンシャル(中心力場)におけるシュレディンガー方程式を解き、
エネルギー固有値及び固有関数を求めます。
水素原子の波動関数を求めるための前段階です。

座標は球座標で表すこととし、球対称ポテンシャル\[
V = V(r)
\tag{1}
\]を仮定。
シュレディンガー方程式は、\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 u(r,\theta, \phi) + V(r) u(r,\theta, \phi) = Eu(r,\theta,\phi)
\tag{2}
\]と書ける。
ラプラシアンを球座標表示で表すと、\[
-\frac{\hbar^2}{2m} \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}
\right] u \\
\hspace{5cm} + V(r) u = Eu
\tag{3}
\]となる。波動関数を以下のように変数分離。
\[
u(r,\theta,\phi) = R(r)Y(\theta,\phi)
\tag{4}
\]
シュレディンガー方程式に代入して、$-2mr^2/\hbar^2u$ を乗じると、
\[
\frac{1}{R} \frac{d}{dr} \left(r^2 \frac{dR}{dr} \right)
+ \frac{2mr^2}{\hbar^2} [ E - V(r) ]
\\ \hspace{3cm} = -\frac{1}{Y} \left[
\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2}
\right]
\tag{5}
\]
左辺は r のみに依存し、右辺は θ、Φのみに依存するから、
両辺ともに定数λと等しいとおけるので、
動径部分は、\[
\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right)
+ \left\{ \frac{2m}{\hbar^2} [ E - V(r) ] - \frac{\lambda}{r^2} \right\} R
= 0
\tag{6}
\]角部分は、\[
\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2}
+ \lambda Y = 0
\tag{7}
\]となる。
動径部分は具体的なポテンシャル形状が分からないと、これ以上は進めないので、
以後、角部分に注目していく。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
球対称ポテンシャル | コメント(0) | 2014/09/09 12:22
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