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球対称ポテンシャル (2)

球対称ポテンシャル問題の続き。
動径部分と角部分に分離して、角部分について考える。
\[
\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2}
+ \lambda Y = 0
\tag{1}
\]さらに、
\[
Y(\theta,\phi) = \Theta(\theta) \Phi(\phi)
\tag{2}
\]によって、θとΦに分離。\[
\frac{\sin\theta}{\Theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta} \right)
+ \lambda\sin^2\theta
= -\frac{1}{\Phi} \frac{d^2\Phi}{d\phi^2}
\tag{3}
\]同様に、両辺を定数 ν とおけるので、\[
\frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta} \right)
+ \left( \lambda - \frac{\nu}{\sin^2\theta} \right) \Theta = 0
\tag{4}
\]\[
\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} + \nu \Phi = 0
\tag{5}
\]なる2つの固有方程式に分離できる。

まずは、(5)式から。$m^2 = \nu$ として、
\[
\Phi = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{im\phi}
\tag{5}
\]2πの周期性から、m は整数でなければならない。

ところで、シッフ[1]では、この部分、
$\Phi$ と$d\Phi/d\phi$ が定義域 0 ~ 2πで連続でなければならないから、
と書かれているのですが、
2πの点で連続(つまり周期的境界条件)という意味なんでしょうね。

規格化因子は、\[
\int_0^{2\pi} |\Phi(\phi)|^2 d\phi = 1
\tag{6}
\]となるように選ばれている。

次に、θに関する (4) 式を見る。
$\nu = m^2$ として、さらに、$\cos\theta = w$ とおき、
$P(w) = \Theta(\theta)$ と変数を置換すると、
\[
\frac{d}{dw} \left[ (1-w^2) \frac{dP}{dw} \right]
+ \left( \lambda - \frac{m^2}{1-w^2} \right) P = 0
\tag{7}
\]と変形される。

これを解くわけですが、長くなるので、次回へ。

参考文献
[1] シッフ「量子力学」(上)
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球対称ポテンシャル | コメント(0) | 2014/09/10 12:30
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