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微分方程式の級数解法 (1)

球対称ポテンシャル問題の微分方程式を解くのに、
ここで、微分方程式の級数解法を見ておこうと思います。

まずは、最も簡単な例で考えてみようと思います。
特にテキストは使わず、我流で進めます。
\[
y' = y
\tag{1}
\]
簡単すぎる例であるが、これぐらいで、やってることをまず理解したい。
普通に解くと、一般解は、\[
y = c e^x
\tag{2}
\]となる。
級数解法では、解を級数でおいてみる。
\[
y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{3}
\]
ここで、$a_0 \neq 0$ として、
\[
y = x^s \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{4}
\]のように置いて、最低次(s次)の係数を$a_0$ とする流儀もあるが、
ここでは、初めの係数がゼロであることを許して、(3)の置き方を採用する。

(3) を微分すると、\[
y' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}
\tag{5}
\]
微分方程式 (1) に代入して、\[
\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{6}
\]左辺のべきを右辺にそろえて、\[
\sum_{n=0}^\infty (n+1) a_{n+1} x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{6}
\]とすれば、両辺の係数は等しくなければならない。
\[
(n+1) a_{n+1} = a_n
\tag{7}
\]これより、
\[
a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1}
\tag{8}
\]という漸化式が得られ、$a_0 = c$ とすると、
\[
a_n = \frac{c}{n!}
\tag{9}
\]となる。これを (3) 式に代入すると、
\[
y = c \sum_{n=0} \frac{x^n}{n!} = ce^x
\tag{10}
\]となり、めでたく (2) と同じ結果が得られた。

まあ、当たり前の結果のような感じでしたが、流れはつかめました。
同じように、いくつか例を見ていこうと思います。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/09/22 13:03
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