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微分方程式の級数解法 (2)

とりあえず、次は2階の場合の簡単な例を考えようかと思います。
\[
y'' = -k^2 y
\tag{1}
\]
簡単ですね・・・普通に解けば、\[
y = c_1 \cos kx + c_2 \sin kx
\tag{2}
\]これを級数解法で解けるでしょうか。
まず、\[
y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{3}
\]とおいてみる。2回微分すると、
\[
y' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}
\tag{4}
\]\[
y'' = \sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}
\tag{5}
\]となり、微分方程式 (1) に代入すると、\[
\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2} = -k^2 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{6}
\]前と同様に、x のべきを揃えて、係数を等値すると、\[
(n+2)(n+1)a_{n+2} = -k^2 a_n
\tag{7}
\]漸化式は、こんな風になる。\[
a_{n+2} = -\frac{k^2}{(n+2)(n+1)} a_n
\tag{8}
\]
よって、偶数項は $a_0$ によって決まり、奇数項は $a_1$ によって決まる。
$a_0 = c_1$ 、$a_1 = c_2$ とすると、
\[
a_{2n} = (-1)^n \frac{k^{2n}}{(2n)!} c_1
\tag{9.1}
\]\[
a_{2n+1} = (-1)^n \frac{k^{2n+1}}{(2n+1)!} c_2
\tag{9.2}
\]となり、\[
y = c_1 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(kx)^{2n}}{(2n)!}
+ c_2 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(kx)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
= c_1 \cos kx + c_2 \sin kx
\tag{10}
\]が得られ、やはり、(2) と同じ結果が得られることが分かりました。
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/09/22 20:19
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