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微分方程式の級数解法 (3)

次は、典型的な定数係数の2階微分方程式を級数解法で解くことができるか見てみたい。
\[
y'' - 3y' + 2y = 0
\tag{1}
\]
まずは、普通の解法。
解を $e^{\lambda x}$ とおいて、代入すると、\[
\lambda^2 -3\lambda + 2 = 0
\tag{2}
\]となり、$\lambda = 1$ または $\lambda = 2$ である。
よって、一般解は、\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{2x}
\tag{3}
\]となる。

これを級数解法で解くことはできるんでしょうか?
いつものように、\[
y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\tag{4}
\]とおいて、\[
y' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}
= \sum_{n=0}^\infty (n+1) a_{n+1} x^n
\tag{5}
\]\[
y'' = \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2}
= \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n
\tag{6}
\]を微分方程式 (1) に代入して、べきの係数をゼロとすると、\[
(n+2)(n+1) a_{n+2} - 3(n+1) a_{n+1} + 2 a_n = 0
\tag{7}
\]という漸化式が得られる。

しかし、この漸化式をどうやって解いたらよいものやら・・・???

こんな簡単な微分方程式が級数解法で解けない気もしないのですが・・・
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/09/25 13:08
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