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一階線形常微分方程式

ほんとは、シュレディンガー方程式を解くために、ルジャンドル陪微分方程式を解くための
級数解法を勉強するのが目的でしたが、
微分方程式じたいの勉強に火がついてしまいました(笑)

というわけで、簡単なものから復習しています。

一階の線形常微分方程式
\[
y' + P(x) y = Q(x)
\tag{1}
\]
$Q = 0$ の場合の同次方程式
\[
y' + P(x) y = 0
\tag{2}
\]の解をまず考える。変数分離形だから容易に解けて、\[
y = C e^{-\int P(x) dx}
\tag{3}
\]
$Q\neq 0$ の非同次の場合の解を求めるためには、定数変化法を用いる。
Cを定数ではなく、関数 C(x) として、解を
\[
y = C(x) e^{-\int P(x) dx}
\tag{4}
\]とおき、微分方程式に代入。
\[
C'(x) e^{-\int P(x) dx} = Q(x)
\]となり、\[
C'(x) = Q(x) e^{\int P(x) dx}
\tag{5}
\]
積分して、\[
C(x) = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C_1
\tag{6}
\]
よって、(1) の解は、
\[
y = \left[
\int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C_1
\right] e^{-\int P(x) dx}
\tag{7}
\]となる。
非同次方程式の一般解 = 同次方程式の一般解 + 非同次方程式の特解
となっている。

 
\[
y' -2y = e^x
\tag{8}
\]の解は、
\[
y = \left[ \int e^x e^{-2x} dx + C \right] e^{2x} \\
= Ce^{2x} - e^x
\tag{9}
\]
この場合は、Q(x) の形から類推して、特解を$y = Ae^x$ とおいて求めてもよい。
(8) に代入すると、$A - 2A = 1$ より $A = -1$。
\[
y = -e^x
\tag{10}
\]と、特解が求められる。同次方程式の一般解 $y = Ce^{2x}$ と合わせて、
一般解 (9) が得られる。

参考文献
[1] 永宮健夫 「応用微分方程式論」
[2] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)

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数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/09/28 19:13
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