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二階線形常微分方程式 (1)

次は、二階の線形常微分方程式
\[
y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)
\tag{1}
\]
ある特解 $y_0$ が分かっているとして、
$y = y_0 + z$ で z に変数変換すると、(1 )は、\[
z'' + pz' + qz = 0
\tag{2}
\]となり、z は同次方程式の解である。
つまり、(1) の一般解は、
同次方程式の一般解 + 非同次方程式の特解で表すことができる。

というわけで、まずは、同次方程式について考える。
\[
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
\tag{3}
\]2つの線形独立な特解(基本解と呼ぶ) $y_1(x)$, $y_2(x)$ が分かっているとすると、
その任意定数による線形結合\[
y = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)
\tag{4}
\]は、同次方程式の一般解である。

実際、初期条件 $x=x_0$ において、$y=y_0$, $y' = y'_0$ を満たす解 $y(x)$ があったとすれば、
必ず、(4)の形で表されることを以下に示す。

$x=x_0$ において、\[
c_1 y_1(x_0) + c_2 y_2(x_0) = y_0
\tag{5.1}
\]\[
c_1 y'_1(x_0) + c_2 y'_2(x_0) = y'_0
\tag{5.2}
\]となる $c_1$、$c_2$ が存在することを確かめる。
ロンスキー行列式\[
W(x) \equiv \left|
\begin{array}{cc}
y_1(x) & y_2(x) \\
y'_1(x) & y'_2(x)
\end{array}
\right|
\tag{6}
\]を定義すると、$W(x_0) \neq 0$ を示せばよい。

$y_1$、$y_2$が同次方程式の解であることから、\[
y''_1 + py'_1 + qy_1 = 0
\tag{7.1}
\]\[
y''_2 + py'_2 + qy_2 = 0
\tag{7.2}
\]
第一式に$y_2$、第二式に$y_1$を乗じて、引き算すると、\[
y_1 y_2'' - y_2 y_1'' + p( y_1 y_2' - y_2 y_1') = 0
\tag{8}
\]より、\[
\frac{dW}{dx} + pW = 0
\tag{9}
\]となり、\[
W(x) = Ce^{-\int p dx}
\tag{10}
\]
W は決してゼロにならないか、恒等的にゼロである。
恒等的に W = 0 であるとすると、\[
y_1 y'_2 - y_2 y'_1 = 0
\tag{11}
\]より、$y_1 = cy_2$ と表されることが分かり、線形独立性に反するから、
結局、W は決してゼロにはならない。

よって、$W(x_0) \neq 0$ であり、
(5.1)(5.2)を満たす定数 $c_1$、$c_2$ の組は存在する。

このことは、この初期条件を満たしている解で
(4) の線形結合の形に書き表されるものが存在する
ことを意味する。

微分方程式の解の一意性より、
同一の初期条件を持つ2種類の解は存在しえないから、
このような解はすべて、(4) の形に書き表される。

結論:
同次方程式の一般解を求めるには、
2種の基本解(線形独立な解)を見つけて、任意定数による線形結合で表せばよい。


参考文献
[1] 永宮健夫 「応用微分方程式論」
[2] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
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数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/09/28 22:59
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