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二階線形常微分方程式 (2)

同次方程式の一つの解 $y_1$ が分かると、もう一つの解 $y_2$ が求められる。
第二の解を\[
y = y_1 v
\tag{1}
\]とおくと、
\[
y' = y_1'v + y_1v'
\tag{2}
\]\[
y'' = y_1''v + 2y_1'v' + y_1v''
\tag{3}
\]同次方程式に代入して、\[
y_1''v + 2y_1'v' + y_1v'' + p(y_1'v + y_1v') + qy_1v = 0
\]$v$ について整理すると、
\[
y_1v'' + (py_1+2y_1')v' + (y_1''+py_1'+qy_1)v = 0
\tag{4}
\]$y_1$ は解だから、上式の $v$ の項は消えて、\[
y_1v'' + (py_1+2y_1')v' = 0
\tag{5}
\]となる。
この式は、$v'$ に関する一階線形微分方程式であるから、こちらの方法で解ける。
解いたのち、積分すれば、$v$ を得る。

追記(10/2)
参考文献[2]を見ていたら、
同次方程式の一つの基本解 $y_1$ が分かれば、もう一つの基本解どころか、
非同次方程式の特解まで求められちゃうんですね。

考えてみたら当然のことで、(1) を同次方程式に代入する代わりに、
直接、非同次方程式に代入してしまえばいいわけですね。
すると、(5) の代わりに、\[
y_1v'' + (py_1+2y_1')v' = r
\tag{6}
\]となり、いずれにせよ、同じ方法で解けるということになります。

参考文献
[1] 永宮健夫 「応用微分方程式論」
[2] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
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数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/01 12:35
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