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二階線形常微分方程式 (3)

同次方程式の2つの基本解が分かると、非同次方程式の特解が求められる。

同次方程式の基本解を $y_1$, $y_2$ として、
定数変化法を用いて、特解を求める。
まずは、\[
y = c_1(x) y_1 + c_2(x) y_2
\tag{1}
\]とおく。微分すると、\[
y' = c_1'y_1 + c_2'y_2 + c_1y_1' + c_2 y_2'
\tag{2}
\]ここで、$c_1$、$c_2$ に\[
c_1'y_1 + c_2'y_2 = 0
\tag{3}
\]という条件を課すことにすると、
\[
y' = c_1y_1' + c_2 y_2'
\tag{4}
\]\[
y'' = c_1'y_1' + c_2'y_2' + c_1y_1'' + c_2y_2''
\tag{5}
\]となる。
(1)、(4)、(5) を非同次方程式\[
y'' + py' + qy = r
\tag{6}
\]に代入すると、$c_1$, $c_2$ の項は消えて、\[
c_1'y_1' + c_2'y_2' = r
\tag{7}
\]が得られる。

結局、$c_1$、$c_2$ は (3) と (7) を満たさなければならないから、
この連立方程式を $c_1'$、$c_2'$ について解けばよい。\[
c_1'y_1 + c_2'y_2 = 0
\tag{8.1}
\]\[
c_1'y_1' + c_2'y_2' = r
\tag{8.2}
\]ここで、基本解の線形独立性から、行列式はゼロではないから、解くことができる。
解いたのち、積分すると、以下のように係数が求められる。
\[
c_1 = {\Large \int} \frac{-r y_2}{y_1 y_2' - y_2 y_1'} dx
\tag{9.1}
\]\[
c_2 = {\Large \int} \frac{r y_1}{y_1 y_2' - y_2 y_1'} dx
\tag{9.2}
\]
以上から特解が求められる。

参考文献
[1] 永宮健夫 「応用微分方程式論」
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数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/01 12:56
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