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二階線形常微分方程式 (4)

一般論ばかりになりすぎて、そろそろ例が欲しいところ(笑)

[1]の演習書は、例題が多数載っているので、そこから例題を持ってきて、
解いてみようかと思います。
\[
x^2 y'' - x(x+2 )y' + (x+2) y = x^4 e^x
\tag{1}
\]
同次方程式の基本解として、$y = x$ がある。
(この最初の一撃は、思いつくしかないんでしょうね・・・^^;)

そこで、非同次方程式 (1) の解を \[
y = vx
\tag{2}
\] とおく。\[
y' = v'x + v
\tag{3.1}
\]\[
y'' = v''x + 2v'
\tag{3.2}
\]を (1) に代入。\[
x^2 (v''x + 2v') - x(x+2)(v'x + v) + (x+2)vx = x^4 e^x
\]整理して、\[
v'' - v' = xe^x
\tag{4}
\]$v'$ に関する一階線形微分方程式だから、\[
v' = \left[
\int xe^x e^{-x} dx + C_1
\right]
e^x \\
= \frac{x^2}{2}e^x + C_1 e^x
\tag{5}
\]と解ける。
さらに積分して、v が求まる。\[
v = \int \left( \frac{x^2}{2}e^x + C_1 e^x \right) dx + C_2 \\
= \left(\frac{x^2}{2} - x + 1 \right) e^x + C_1 e^x + C_2 \\
= \left(\frac{x^2}{2} - x \right) e^x + C_1' e^x + C_2
\tag{6}
\]
これを (2) に代入して、求める解は、\[
y = c_1 xe^x + c_2 x + \frac{x^3}{2} e^x - x^2 e^x
\tag{7}
\]

参考文献
[1] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
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数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/02 12:21
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