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二階線形常微分方程式 (5)

続いて、同次方程式の2つの基本解から、非同次の特解を求める例題。
やはり、文献[1]から。
\[
y'' - 5y' + 4y = x^2
\tag{1}
\]
定数係数なので、演算子法を使った方が楽なのですが、
まずは、一般的な方法の練習として、やってみます。
後ほど、演算子法でも同じ問題をやってみたいですね。

同次方程式の解を $y = e^{\lambda x}$ とおいて、\[
\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0
\tag{2}
\]より、$\lambda = 1$ または$\lambda = 4$ となり、
2つの基本解は、\[
y_1 = e^x \\
y_2 = e^{4x}
\tag{3}
\]となる。
ロンスキー行列式は、\[
W = y_1y_2' - y_2y_1' = 3e^{5x} \neq 0
\tag{4}
\]
係数を求める。
\[
a_1 = {\Large \int} \frac{ -x^2 e^{4x}}{3e^{5x}} dx
= \frac{1}{3} (x^2 + 2x + 2) e^{-x}
\tag{5.1}
\]\[
a_2 = {\Large \int} \frac{x^2 e^x}{3e^{5x}} dx
= -\frac{1}{96} (8x^2 + 4x + 1) e^{-4x}
\tag{5.2}
\]特解は、\[
y = a_1 y_1 + a_2 y_2
= \frac{1}{32} (8x^2 + 20x + 21)
\tag{6}
\]となり、一般解は、\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{4x} + \frac{1}{32} (8x^2 + 20x + 21)
\tag{7}
\]となる。

参考文献
[1] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
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数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/03 12:34
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