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エネルギーと運動量の関係

久しぶりに、特殊相対論。

前回、$E=mc^2$ を導出し、その後、その面白さを見るために、
衝突の思考実験を考えると書いてましたが、
その前に、よく登場するエネルギーと運動量の重要な関係式を導いておきます。

前回の結果から、4元運動量ベクトルは、\[
p^\mu = ( E/c, {\bf p} )
\tag{1}
\]と書ける。
ここで、${\bf p}$ は、4元運動量の空間成分のみを取り出したものを表し、\[
{\bf p} = \gamma m {\bf v}
\tag{2}
\]である(γがついているため、ニュートン的な運動量ではない)。

4元運動量のノルムを計算してみると、\[
p^\mu p_\mu = m^2 u^\mu u_\mu = m^2 c^2
\tag{3}
\]であるから、(1) の成分表示を用いると、\[
\frac{E^2}{c^2} - p^2 = m^2 c^2
\tag{4}
\]となる。これを書き直せば、\[
E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4
\tag{5}
\]という重要な関係式が得られる。
ただし、$p^2$ は、4元運動量の空間部分のみの大きさを表している。

非相対論的極限 $p^2 \ll (mc)^2$ を考えると、(5) は、\[
E = mc^2 \sqrt{ 1 + \frac{p^2}{m^2c^2}} \simeq mc^2 + \frac{p^2}{2m}
\tag{6}
\]と近似され、ニュートン的な運動エネルギーに静止エネルギーが付加された形に
なっていることが確認できる。
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物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2014/10/03 19:35
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