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相対論的な非弾性衝突の思考実験 (2)

非弾性衝突の話。
relativistic-collision-01.png

この衝突を右側の粒子 B と一緒に動く座標系から見てみます。

relativistic-collision-02.png

まず、質量はローレンツ不変量なので、前回の結果と変わらず、\[
M = 2\gamma m
\tag{1}
\]となる。

左側の粒子 A の速度 $v'$ と衝突後の速度 $V'$ を速度の合成則を用いて、求める。
以後、計算を見やすくするために、光速との比
$\beta = v/c$, $\beta' = v'/c$, $B' = V'/c$ などを用いることにする。
\[
\beta' = \frac{2\beta}{1+ \beta^2} \\
B' = \beta
\tag{2}
\]これをもとに、4元運動量を記述すると、\[
{p'_A}^\mu = ( \gamma' mc, \gamma' mc\beta' ) \\
{p'_B}^\mu = ( mc, 0 ) \\
{P'}^\mu = ( \gamma Mc, \gamma Mc\beta )
\tag{3}
\]ここで、\[
\gamma = ( 1 - \beta^2 )^{-1/2} \\
\gamma' = ( 1 - \beta'^2 )^{-1/2}
\tag{4}
\](2) より、\[
1 - \beta'^2 = \left( \frac{1-\beta^2}{1+\beta^2} \right)^2
\]だから、(4) を用いると、\[
\gamma' = \frac{1+\beta^2}{1-\beta^2} = \gamma^2(1 + \beta^2)
\tag{5}
\]これと (2) を (3) の第一式に代入して、\[
{p'_A}^\mu = \left( \gamma^2 mc (1+\beta^2), 2\gamma^2 mc \beta \right) \\
{p'_B}^\mu = ( mc, 0 ) \\
{P'}^\mu = ( \gamma Mc, \gamma Mc\beta )
\tag{6}
\]となる。

今度は見方を変えて、元の座標系における4元運動量をそのままローレンツ変換してみる。
前回記事より、元の座標系における4元運動量は、\[
p_A^\mu = ( \gamma mc, \gamma mc\beta) \\
p_B^\mu = ( \gamma mc, -\gamma mc\beta) \\
P^\mu = (2\gamma mc, 0)
\tag{7}
\]これを機械的に速度 $-v$ の座標系にローレンツ変換する。
\[
{p'_A}^\mu = \left[
\begin{array}{cc}
\gamma & \gamma \beta \\
\gamma\beta & \gamma
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\gamma mc \\
\gamma mc\beta
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{c}
\gamma^2 mc (1+\beta^2) \\
2\gamma^2 mc\beta
\end{array}
\right]
\tag{8.1}
\]\[
{p'_B}^\mu = \left[
\begin{array}{cc}
\gamma & \gamma \beta \\
\gamma\beta & \gamma
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\gamma mc \\
-\gamma mc\beta
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{c}
\gamma^2 mc (1-\beta^2) \\
0
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{c}
mc \\
0
\end{array}
\right]
\tag{8.2}
\]\[
{P'}^\mu = \left[
\begin{array}{cc}
\gamma & \gamma \beta \\
\gamma\beta & \gamma
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
2\gamma mc \\
0
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{c}
2\gamma^2 mc \\
2\gamma^2 mc\beta
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{c}
\gamma Mc \\
\gamma Mc\beta
\end{array}
\right]
\tag{8.3}
\]
すると、(6) と同じ結果が得られる。

もちろん、もともと、速度の合成則もローレンツ変換によって得たものだから、
結果が一致するのは数学的には当たり前の話なのですが、
このように運動量の時間成分にエネルギーを与えて、4元ベクトルにすることによって、
他の座標系から見ても、ローレンツ変換によって説明できるということが
この例を考えると、よくわかるんじゃないかと思います。


参考文献
[1] 前野昌弘 相対論2010年度講義録
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/rel2010/tokushu.pdf
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物理>特殊相対論 | コメント(0) | 2014/10/15 19:30
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