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定数係数の線形常微分方程式

係数が定数の場合の微分方程式を考えます。
同次方程式の一般解非同次方程式の特解を求めればよい。
まず、同次方程式
\[
y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = 0
\tag{1}
\]を考える($a_k$ はすべて定数)。
$y = e^{\lambda x}$ とおくと、\[
\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_n = 0
\tag{2}
\]という特性方程式が得られる。
これを解いて、重根がなければ、線形独立な n 個の解が得られ、一般解は\[
y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} + \cdots + c_n e^{\lambda_n x}
\tag{3}
\]となる。

重根があった場合は、どうするか?
$\lambda$ が m 重根であったとすると、
$e^{\lambda x}, xe^{\lambda x}, \cdots, x^{m-1}e^{\lambda x}$ が m 個の線形独立な解となる。

証明\[
y = x^k e^{\lambda x} = \frac{\partial^k}{\partial \lambda^k} ( e^{\lambda x} )
\hspace{2cm} (k = 0, 1, \cdots, m-1)
\tag{4}
\]を同次方程式 (1) に代入すると、(1) の左辺は、\[
\begin{array}{l}
y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y \\
= \frac{\partial^k}{\partial \lambda^k} \left[\left\{
\frac{\partial^n}{\partial x^n} + a_1\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}} + \cdots \right\}
e^{\lambda x} \right] \\
= \frac{\partial^k}{\partial \lambda^k} \left[ (\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_n)
e^{\lambda x} \right] \\
= \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} \frac{\partial^i}{\partial \lambda^i}
(\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_n)
\frac{\partial^{k-i}}{\partial \lambda^{k-i}} (e^{\lambda x})
\end{array}
\]となる。
上記 $\lambda$ の多項式は、m 重根であれば、m-1階微分まではゼロであるから、
この式はゼロとなる。
(証明終了)

[1]に掲載されている証明ですが、なかなかエレガントですね!
騙されたような気になるので、もっと愚直に証明できないものかと思ったのですが、
難しそうです・・・orz

簡単な例をひとつ。
\[
y''' + y'' - y' - y = 0
\tag{5}
\]
特性方程式は、\[
\lambda^3 + \lambda^2 - \lambda - 1 = (\lambda - 1)(\lambda + 1)^2 = 0
\tag{6}
\]となり、根は、$\lambda = 1$ と$\lambda = -1$ (2重根)。
よって、一般解は\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x}
\tag{7}
\]
自作の例題だから、合っているかどうか心配なので、一応、Maxima で検算してあります^^;


参考文献
[1] 永宮健夫 「応用微分方程式論」
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数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/20 00:00
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