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1次ルンゲ・クッタ法(オイラー法)

微分方程式の数値解法について、勉強しています。

いつも、なにげなく、4次ルンゲ・クッタ公式を使って解いていますが、
この公式ってどうやって出てくるんだろうと改めて考えてみたくなりました。

まずは1次ルンゲ・クッタ法(オイラー法)から。

今後は、解きたい微分方程式を\[
y' = f(x,y)
\tag{1}
\]と仮定する。
x 軸を差分化して、$x_{n+1}$ における値 $y_{n+1} = y(x_{n+1})$ を求めるのに、
一個前の値 $(x_n, y_n)$ のみから求めることができる公式をルンゲ・クッタ型公式と呼ぶようです。

テーラー展開を用いて、\[
y_{n+1} = y_n + y'(x_n) h + \frac{y''(\xi)}{2}h^2
\tag{2}
\]ただし、$h = x_{n+1} - x_n$ で、$x_n < \xi < x_{n+1}$。

h の2次の項を落として、(1) を用いると、
1次ルンゲ・クッタ法(オイラー法)の式\[
y_{n+1} = y_n + f(x_n,y_n) h
\tag{3}
\]が得られる。

$x_n$ における導関数の値で直線近似していることに相当する。

また、(1) から直接、\[
y_{n+1} = y_n + \int_{x_n}^{x_{n+1}} f(x,y(x)) dx
\tag{4}
\]と考えることもできるので、
オイラー法は上の積分を矩形近似していることに対応している。


参考文献
[1] 川上一郎 「数値計算の基礎」 平成21年, http://www7.ocn.ne.jp/~kawa1/
[2] D. Young and R. T. Gregory, "A Survey of Numerical Mathematics Vol. I"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数値計算>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/27 19:55
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