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4次ルンゲ・クッタ法 (2) 失敗編

(この記事は書きかけです)
注:書きながら計算しているので、後で大幅に修正する可能性があります!

k4 を3次までテーラー展開。
\[
k_4 = f + h\left[
a_4 f_x + (b_{41} f + b_{42} k_2 + b_{43} k_3) f_y
\right] \\
+ \frac{h^2}{2} \left[
a_4^2 f_{xx}
+ 2 a_4 (b_{41} f + b_{42} k_2 + b_{43} k_3) f_{xy} \\
+ (b_{41} f + b_{42} k_2 + b_{43} k_3)^2 f_{yy}
\right] \\
+ \frac{h^3}{6} \left[
a_4^3 f_{xxx}
+ 3 a_4^2 (b_{41} f + b_{42} k_2 + b_{43} k_3) f_{xxy} \\
+ 3 a_4 (b_{41} f + b_{42} k_2 + b_{43} k_3)^2 f_{xyy} \\
+ (b_{41} f + b_{42} k_2 + b_{43} k_3)^3 f_{yyy}
\right] \\
+ \mathcal{O}(h^4)
\tag{1}
\]
この式に、前記事で求めた k2 の展開式
\[
k_2 = f + h(a_2 f_x + b_{21} f f_y ) \\
+ \frac{h^2}{2} \left( a_2^2 f_{xx} + 2 a_2 b_{21} f f_{xy} + b_{21}^2 f^2 f_{yy} \right) \\
+ \frac{h^3}{6} \left[ a_2^3 f_{xxx} + 3 a_2^2 b_{21} f f_{xxy} + 3 a_2 b_{21}^2 f^2 f_{xyy}
+ b_{21}^3 f^3 f_{yyy} \right] \\
+ \mathcal{O}(h^4)
\tag{2}
\]
および k3 の展開式
\[
k_3 = f + h \left[ a_3 f_x + (b_{31} + b_{32} ) f f_y \right] \\
+ \frac{h^2}{2} \left[ a_3^2 f_{xx} + 2 a_3 (b_{31} + b_{32} ) f f_{xy} \\
+ (b_{31} + b_{32} )^2 f^2 f_{yy} \\ + 2b_{32} ( a_2 f_x + b_{21} f f_y ) f_y \right] \\
+ \frac{h^3}{6} \left[ a_3^3 f_{xxx} + 3 a_3^2 (b_{31} + b_{32} ) f f_{xxy} \\
+ 3 a_3 (b_{31} + b_{32} )^2 f^2 f_{xyy} \\ + (b_{31} + b_{32} )^3 f^3 f_{yyy} \\
+ 6 a_3 b_{32} (a_2 f_x + b_{21} f f_y) f_{xy} \\
+ 6 b_{31} b_{32} (a_2 f_x + b_{21} f f_y) f f_{yy} \\
+ 6 b_{32}^2 (a_2 f_x + b_{21} f f_y) f f_{yy} \\
+ 3 b_{32} ( a_2^2 f_{xx} + 2 a_2 b_{21} f f_{xy} + b_{21}^2 f^2 f_{yy} ) f_y \right] \\
+ \mathcal{O}(h^4) \tag{3}
\]
を代入して、h の次数ごとに分ける。

・・・ということが果たして、人間技でできるのでしょうか?(笑)



参考文献
[1] 川上一郎 「数値計算の基礎」 平成21年, http://www7.ocn.ne.jp/~kawa1/
[2] D. Young and R. T. Gregory, "A Survey of Numerical Mathematics Vol. I"
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数値計算>微分方程式 | コメント(0) | 2014/10/31 12:05
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