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コンパクトと有界閉集合 (1)

最近は、数学に浸りたい気分です(笑)

$R^n$ の部分集合 K において、次の3つは同値である。
(a) K はコンパクトである。
(b) K は有界閉集合である。
(c) K は点列コンパクトである。

(b) 有界閉集合 と (c) 点列コンパクト が同値であることは既に示したので、
(a) コンパクト と (b) 有界閉集合 が同値であることをこれから示す。

まずは、「コンパクトであれば、有界閉集合である」ことを示す。

(証明概略)
まずは、「コンパクトであれば、有界である」ことを示す。
対偶 「有界でなければ、コンパクトでない」を示せばよい。

K を有界でないと仮定する。
原点中心で半径 m の開球 $U_m = \{ x \in R^n | |x| < m \}$ を用いて構成された
$(U_m)_{m \geq 1}$ はK の開被覆である。
しかし、有限個をどのように選んでも、K が有界でない以上、被覆できない。

次に、「コンパクトであれば、閉集合である」ことを示す。
「補集合 $K^c$ が開集合である」ことを示せばよい。

$K^c$ の任意の元 $x \in K^c$ に対して、K の元 $y \in K$ を考える。
$x \neq y$ より、x, y 中心で半径 $\varepsilon = |x-y|/2 > 0$ の開球
$U(x, \varepsilon)$ と $U(y, \varepsilon)$ を考えると、
明らかに2つの開球は交わらない。 $U(x, \varepsilon) \cap U(y,\varepsilon) = \phi$

$(U(y, \varepsilon))_{y\in K}$ は K の開被覆であり、
K はコンパクトであるという仮定から、
ある有限個の $(U(y_i,\varepsilon_i))$ を用いて、K は被覆される。

各 $y_i$ に対して、$U(x, \varepsilon_i) \cap U(y_i, \varepsilon_i) = \phi$ であるから、
$U(x, \varepsilon_i)$ の共通部分は、いかなる $U(y_i, \varepsilon_i)$ とも交わらない。
つまり、それが被覆している K とも交わらない。

一方、$U(x, \varepsilon_i)$ の共通部分は、$\varepsilon_i$ のうち最小のものを半径とする x の近傍であるから、
x のある近傍は $K^c$ に属することになり、$K^c$ は開集合である。
(証明終了)

証明を眺めていると・・・
無限の世界で成立していたものが、
コンパクト性によって有限の世界にもってこられるところがミソっぽいですね!

この「無限と有限の間(はざま)」・・・これこそが解析の醍醐味ですね!(笑)

次回は、この逆を示します。

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2014/11/13 12:20
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