開集合・閉集合再論 (1)
再び、松坂 [1] で、「位相」に挑戦してみようと思っています。
以前に読んでみようとしたけど、難しくて、
とりあえず、杉浦 [2] の解析で基礎知識を蓄えていたのでした。
松坂 [1] の開集合・閉集合あたりの定義が以前、杉浦 [2] に基づいて
記事にしたものと少し異なるので、
[1] の定義でおさらいしておきたいと思います。
まずは、$R^n$ における話です。
内点(定義)
点 a のあるε近傍が 集合 M に含まれる時、a を M の内点という。
あるεに対して、$U(a,\varepsilon) \subset M$。
内部(または開核)(定義)
M の内点全部の集合を M の内部、または開核と呼び、
$M^\circ$ または $M^i$ と表す。
M の内点はかならず、M の点であるから、\[
M^\circ \subset M
\]
外点(定義)
M の補集合 $M^c$ の内点を M の外点という。
外部(定義)
M の外点全部の集合を M の外部と呼び、$M^e$ で表す。\[
M^e = (M^c)^\circ = M^{ci}
\]
$M^\circ \subset M$、$M^e \subset M^c$ であるから、内部と外部は交わらない。\[
M^\circ \cap M^e = \phi
\]
境界点(定義)
M の内点でも外点でもない点を M の境界点と呼ぶ。
境界(定義)
M の境界点全部の集合を M の境界と呼び、 $M^f$ で表す。\[
M^f = R^n - (M^\circ \cup M^e)
\]
以上より、$R^n$ は、内部、外部、境界の直和となる。\[
R^n = M^\circ \cup M^e \cup M^f (直和)
\]
とても分かりやすい定義ですね!
次回、この定義に基づいて、以前に述べた触点や閉包について考えていきます。
参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
[2] 杉浦光夫 「解析入門I」(東大出版会)
以前に読んでみようとしたけど、難しくて、
とりあえず、杉浦 [2] の解析で基礎知識を蓄えていたのでした。
松坂 [1] の開集合・閉集合あたりの定義が以前、杉浦 [2] に基づいて
記事にしたものと少し異なるので、
[1] の定義でおさらいしておきたいと思います。
まずは、$R^n$ における話です。
内点(定義)
点 a のあるε近傍が 集合 M に含まれる時、a を M の内点という。
あるεに対して、$U(a,\varepsilon) \subset M$。
内部(または開核)(定義)
M の内点全部の集合を M の内部、または開核と呼び、
$M^\circ$ または $M^i$ と表す。
M の内点はかならず、M の点であるから、\[
M^\circ \subset M
\]
外点(定義)
M の補集合 $M^c$ の内点を M の外点という。
外部(定義)
M の外点全部の集合を M の外部と呼び、$M^e$ で表す。\[
M^e = (M^c)^\circ = M^{ci}
\]
$M^\circ \subset M$、$M^e \subset M^c$ であるから、内部と外部は交わらない。\[
M^\circ \cap M^e = \phi
\]
境界点(定義)
M の内点でも外点でもない点を M の境界点と呼ぶ。
境界(定義)
M の境界点全部の集合を M の境界と呼び、 $M^f$ で表す。\[
M^f = R^n - (M^\circ \cup M^e)
\]
以上より、$R^n$ は、内部、外部、境界の直和となる。\[
R^n = M^\circ \cup M^e \cup M^f (直和)
\]
とても分かりやすい定義ですね!
次回、この定義に基づいて、以前に述べた触点や閉包について考えていきます。
参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
[2] 杉浦光夫 「解析入門I」(東大出版会)
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