開集合・閉集合再論 (1)

再び、松坂 [1] で、「位相」に挑戦してみようと思っています。
以前に読んでみようとしたけど、難しくて、
とりあえず、杉浦 [2] の解析で基礎知識を蓄えていたのでした。

松坂 [1] の開集合・閉集合あたりの定義が以前、杉浦 [2] に基づいて
記事にしたものと少し異なるので、
[1] の定義でおさらいしておきたいと思います。

まずは、$R^n$ における話です。

内点（定義）
点 a のあるε近傍が 集合 M に含まれる時、a を M の内点という。
あるεに対して、$U(a,\varepsilon) \subset M$。

内部（または開核）（定義）
M の内点全部の集合を M の内部、または開核と呼び、
$M^\circ$ または $M^i$ と表す。

M の内点はかならず、M の点であるから、\[
M^\circ \subset M
\]

外点（定義）
M の補集合 $M^c$ の内点を M の外点という。

外部（定義）
M の外点全部の集合を M の外部と呼び、$M^e$ で表す。\[
M^e = (M^c)^\circ = M^{ci}
\]

$M^\circ \subset M$、$M^e \subset M^c$ であるから、内部と外部は交わらない。\[
M^\circ \cap M^e = \phi
\]

境界点（定義）
M の内点でも外点でもない点を M の境界点と呼ぶ。

境界（定義）
M の境界点全部の集合を M の境界と呼び、 $M^f$ で表す。\[
M^f = R^n - (M^\circ \cup M^e)
\]

以上より、$R^n$ は、内部、外部、境界の直和となる。\[
R^n = M^\circ \cup M^e \cup M^f （直和）
\]

とても分かりやすい定義ですね！
次回、この定義に基づいて、以前に述べた触点や閉包について考えていきます。

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」（岩波書店）
[2] 杉浦光夫 「解析入門Ｉ」（東大出版会）