開集合・閉集合再論 (2)

前記事の松坂 [1] の定義で、触点や閉包を考えてみます。

閉包（または触集合）（定義）
M の内部と境界の和集合を M の閉包、または触集合と呼び、
$\bar{M}$ または $M^a$ で表す。\[
\bar{M} = M^a = M^\circ \cup M^f
\]

触点（定義）
M の閉包に属する点を M の触点と呼ぶ。

$R^n$ は、内部・外部・境界に直和分割されるから、
触点とは「外点ではない点」である。

つまり、「補集合の内点ではない点」ということであるから、
任意の正数εに対して、\[
U(a, \varepsilon) \cap M \neq \phi
\]が成り立つような点 a である。

この性質は、以前の杉浦 [2] による定義に一致している。

M の点は必ず、M の触点であるから、\[
M \subset \bar{M}
\]

ここで、開集合・閉集合を定義する。

開集合（定義）\[
M = M^\circ
\]を満たす集合。

閉集合（定義）\[
M = \bar{M}
\]を満たす集合。

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」（岩波書店）
[2] 杉浦光夫 「解析入門Ｉ」（東大出版会）