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開集合・閉集合の性質

集合 M の内部は、補集合 $M^c$ にとっての外部であり、
集合 M の外部は、補集合 $M^c$ にとっての内部であり、
$R^n$ は、内部・外部・境界で直和分割されているから、

集合 M の境界は、補集合 $M^c$ にとっての境界でもある。

このことに注意すると、以下のことがほぼ自明に分かる。

(1) 開集合の補集合は、閉集合である。
なぜなら、開集合は内部だけからなるので、補集合は外部と境界。

(2) 閉集合の補集合は、開集合である。
なぜなら、閉集合は内部と境界からなるので、補集合は外部のみ。

開集合系(定義)
$R^n$ の開集合全体の集合。
$\mathfrak{O}(R^n)$ (以下、略して$\mathfrak{O}$)で表す。

閉集合系(定義)
$R^n$ の閉集合全体の集合。
$\mathfrak{A}(R^n)$ (以下、略して$\mathfrak{A}$)で表す。

開集合の性質
(1) $R^n$、$\phi$ は開集合である。\[
R^n \in \mathfrak{O}, \phi \in \mathfrak{O}
\]
(2) 有限個の開集合の共通部分は、開集合である。\[
O_1, \cdots, O_n \in \mathfrak{O} \Rightarrow O = O_1 \cap \cdots \cap O_n \in \mathfrak{O}
\](証明概略)
O の点は、各 $O_i$ の点であるから、各々について、あるε近傍が $O_i$ に含まれる。
このうち、εの最小値を選び出すと、ε近傍はすべての $O_i$ に含まれ、O に含まれる。
(最小値を選ぶところで、有限個でないとダメ)(証明終了)

(3) 無限個の開集合の和集合は、開集合である。\[
O_\lambda \in \mathfrak{O} \Rightarrow O = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \in \mathfrak{O}
\](証明概略)
O の点はいずれかの $O_\lambda$ の点であるから、あるε近傍が $O_\lambda$ に含まれ、その結果、O に含まれる。
(証明終了)

以上の性質の補集合を取ると、同様に、閉集合の性質も得られる。
この際、和集合や共通部分の補集合には、ド・モルガンの法則を使う。

ところで、ド・モルガンって、無限個でも使えるんだっけ?
使えるっぽいですね・・・

というわけで、

閉集合の性質
(1) $R^n$、$\phi$ は閉集合である。\[
R^n \in \mathfrak{A}, \phi \in \mathfrak{A}
\]
(2) 無限個の閉集合の共通部分は、閉集合である。\[
A_\lambda \in \mathfrak{A} \Rightarrow A = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \in \mathfrak{A}
\]
(3) 有限個の閉集合の和集合は、閉集合である。\[
A_1, \cdots, A_n \in \mathfrak{A} \Rightarrow A = A_1 \cup \cdots \cup A_n \in \mathfrak{A}
\]

ここで、「有限個」と「無限個」の修飾語句が逆になっていることに注意!
(ド・モルガンを使うと、共通部分と和集合が逆になることに起因している)

それにしても、漢字で「開」と「閉」は、ほんと紛らわしいですね!
昔のエレベーターに乗ると、ボタンが漢字でとっさにどっち押していいか分からん!
って話ありますよね(笑)

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
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ユークリッド空間 | コメント(0) | 2014/11/18 19:41
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