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開核・閉包の特徴づけ

また、多様体の本が読みたくなり、再び位相を始めました。
まだ、位相空間を導入する準備として、
n 次元ユークリッド空間 $R^n$ を考えているところです。

開核、閉包は以下のように特徴づけることができる。

$M \subset R^n$ とすると、
(1) 開核 $M^\circ$ は M に含まれる最大の開集合である。
(2) 閉包 $\bar{M}$ は M を含む最小の閉集合である。


(証明概略)
(1) まず、任意の $N_1, N_2 \subset R^n$ に対して、以下が成立することを確認しておく。\[
N_1 \subset N_2 \Rightarrow N_1^\circ \subset N_2^\circ
\tag{1}
\]なぜなら、$N_1^\circ$ の任意の点 a は、$U(a,\varepsilon) \subset N_1 \subset N_2$ より $N_2$ の内点でもあるから。

$M^\circ$ の点は M の内点であるから、明らかに $M^\circ$ は M に含まれる。

$M^\circ$ の任意の点 a は M の内点であるから、$U(a,\varepsilon) \subset M$。
式 (1) より $U(a,\varepsilon)^\circ \subset M^\circ$ であるが、U は開集合であるから、
$U(a,\varepsilon) \subset M^\circ$ となり、a は $M^\circ$ の内点である。
すなわち、$M^\circ$ は開集合である。

また、M に含まれる任意の開集合 $N \subset M$ に対して、式 (1) より
$N = N^\circ \subset M^\circ$ である。

(2) $\bar{M}$ は $M^\circ$ の補集合であるから、(1) より
M を含む最小の閉集合である。
(証明終了)


参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
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ユークリッド空間 | コメント(0) | 2015/11/12 00:23
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