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定数係数の線形常微分方程式 (2) 山辺の方法

演算子法の話です。

実は正直、「演算子法」とか「記号的解法」とか呼ばれている方法が
どの方法のことをさしているのかよく分かってないのですが、
とりあえず、同次方程式の一般解非同次方程式の特解
分かればよいわけです。

で、同次の一般解については、前回の方法ですぐに計算できるので、
問題は、非同次の特解を求めることにかかっています。

特に、非同次の項が x に関する整式になっている場合、
最強の武器となるのがこの「山辺の方法」と呼ばれる方法!

山辺さんという方がどのような方かもとんと存じ上げないのですが、
この方法、あんまり、教科書にも載ってないんですよね・・・

大学の頃、友人が [1] の本を手にして、
「おい、この方法、すごいぜ!!!これがあれば何でも解けるよ!」
と興奮気味に教えてくれたのが印象に残っています(笑)
確かに、この方法、すごいと思うんですよね。

というわけで、記事にしたいのですが、その前に、演算子法について。

演算子法では、\[
\frac{d}{dx} = D
\tag{1}
\]と書くと約束する。

以前やった例題の式\[
y'' - 5y' + 4y = x^2
\tag{2}
\]は、\[
(D^2 - 5D + 4)y = x^2
\tag{3}
\]と書ける。
同次の一般解部分は、以前の記事のように、特性方程式を解けばすぐわかる。
つまり、解は、\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{4x} + (非同次の特解)
\tag{4}
\]となる。
この非同次の特解を求めるのには、どうするか?
方程式 (3) を形式的に、\[
y = \frac{1}{D^2 - 5D + 4} x^2
\tag{5}
\]と変形する。

ここで、満を持して、その「山辺の方法」の登場!

筆算でこの割り算をバリバリとやってしまおうという素晴らしいアイデア(笑)

実際、これ割り算なんですよね!
「$D^2-5D+4$ という演算を掛ければ、$x^2$ になるようなものを探せ!」
というわけなので、$x^2$ を $D^2-5D+4$ で割ればよいわけです。

ただ、筆算を MathJax で書くというのが至難の業・・・^^;
\[
\begin{array}{ccccc}
& & \frac{1}{4}x^2& +\frac{5}{8}x & +\frac{21}{32} \\
& & --- & --- & --- \\
4-5D+D^2 & ) & x^2 & & \\
& & x^2 & -\frac{5}{2}x & +\frac{1}{2} \\
& & --- & --- & --- \\
& & & \frac{5}{2}x & -\frac{1}{2} \\
& & & \frac{5}{2}x & -\frac{25}{8} \\
& & & --- & --- \\
& & & & \frac{21}{8} \\
& & & & \frac{21}{8} \\
& & & & --- \\
& & & & 0
\end{array}
\]
なんとか書けた(笑)
Dの式を次数の逆順で書くのがポイント!
Dの定数項をもとに上に書く値を決めて、
(この例では、$x^2$ を 4 で割って、$x^2/4$ と上に書く)
あとは普通の筆算の割り算と同じように進めていきます。

割り算した答が求める特解になって、\[
y = \frac{1}{4}x^2 +\frac{5}{8}x + \frac{21}{32}\\
= \frac{1}{32} ( 8x^2 + 20 x + 21 )
\tag{6}
\]
(4) に入れると、求める一般解は、\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{4x} + \frac{1}{32} ( 8x^2 + 20 x + 21 )
\tag{7}
\]となり、以前の答とちゃんと一致することが確かめられます。
以前の方法よりもだいぶ楽ですね!

参考文献
[1] 矢野健太郎・石原 繁 「微分方程式」(演習数学選書)
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数学>微分方程式 | コメント(0) | 2014/11/20 12:56
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