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点列と関数の極限

解析の続き。

$A \subset R^n$ における関数 $f : A \rightarrow R^m$ について、
以下の2つは同値である。

(a) $x \rightarrow a$ で $f(x)$ が b に収束。
(b) a に収束する任意の点列 $x_n$ に対して、$f(x_n)$ が b に収束。


一見すると、不思議な定理。
離散的に点を選んだだけなのに、それが収束することが関数自体が収束することと同値になるとは。
「任意の」点列というのがポイントなんですね。


(証明概略)
(a) ⇒ (b)
任意のε>0 に対して、δ>0 が存在して、$|x-a|<\delta$ となるすべての x について、
$|f(x) - b| < \varepsilon$ が成立。
a に収束する任意の点列 $x_n$ において、ある $n_0$ が存在して、
すべての $n \geq n_0$ について、$|x_n - a| < \delta$ となるから、
この時、上記より、$|f(x_n) - b| < \varepsilon$ となる。

(b) ⇒ (a)
「$f(x)$ は b に収束しない」と仮定する。
この時、あるε>0 に対して、どんなδ>0 を取っても、
$|x - a|<\delta$ のある x に対して、$|f(x) - b| \geq \varepsilon$ となる。

そこで、$\delta = 1/n$ と取ってやり、$|x - a|<1/n$ となる区間から
$|f(x) - b| \geq \varepsilon$ となる x を選び出し、$x_n$ とする(選択公理)。
こうして構成された点列 $x_n$ は a に収束するが、$f(x_n)$ は b には収束しない。
このことは、(b) の前提に反する。
(証明終了)

イメージで言うと・・・
(a) ⇒ (b)
関数として収束するんだから、離散的に選び出した点列は当然、収束するだろう。

(b) ⇒ (a)
任意の点列で収束しなきゃいけないんだから、
元の関数が収束してくれてないと、
うまく収束しない点を選び出しちゃったときには、
点列が収束してくれなくて困る!


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2014/11/21 12:38
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