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連続性と最大値・最小値の存在

点列コンパクトな集合において、連続な関数は最大値・最小値を持つ
という重要な定理。

K を $R^n$ の点列コンパクト集合として、
$f : K \rightarrow R^m$ は K で連続であるとすると、

(1) $f(K)$ は点列コンパクトであり、f は有界である。

(2) 特に、f が実数値関数 (m = 1) の場合で、$K\neq\phi$ ならば、
  f は K で最大値、最小値に達する。

(証明概略)
(1) $f(K)$ の任意の点列 $y_n$ に対して、$y_n = f(x_n)$ となる $x_n \in K$ が存在するから、
そのうち一つを選ぶと、K の点列 $x_n$ が構成できる。

K は点列コンパクトであるから、点列 $x_n$ はK の点 x に収束する部分列を持つ。
その部分列に対応する $y_n$ の部分列の極限は、
f の連続性により、$y = f(x)$ となり、$x \in K$ より、 y は $f(K)$ に属する。
よって、$f(K)$ は点列コンパクトである。

ゆえに、$f(K)$ は有界閉集合であり、f は有界である。

(2) (1)より $f(K)$ は有界であるから、上限と下限が存在する。
上限 $s = {\rm sup} f(K)$ について、上限の定義より、
s に収束する $f(K)$ の点列が存在する。

しかるに、$f(K)$ は閉集合であるから、s は $f(K)$ に属する。
よって、s は $f(K)$ の最大値である。

下限についても、同様の手順で、最小値であることが示せる。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2014/11/21 22:47
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