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中間値の定理

有界閉区間で連続な実数値関数は、端点の値の間にある値をすべて、区間内で取りうる
という重要な定理。

中間値の定理
Rの有界閉区間 $I=[a,b]$ において連続な実数値関数 $f: I \rightarrow R$ は、
$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の実数 $\gamma$ を値に取る。
つまり、$f(c) = \gamma$ となる実数 c が I に存在する。

これを証明するために、まず、以下の系を証明する。


Rの有界閉区間 $I=[a,b]$ において連続な実数値関数 $f: I \rightarrow R$ において、
$f(a) < 0$ かつ $f(b) > 0$、または、$f(a) > 0$ かつ $f(b) < 0$ ならば、
$f(c) = 0$ となる実数 c が I に存在する。

(系の証明概略)
$f(a) < 0 < f(b)$ の場合を証明する(逆の場合も同様)。

区間 $I_0 = [a_0, b_0]$( $a_0 = a, b_0 = b$) とおき、
区間 $I_n = [a_n, b_n]$ を以下のように帰納的に定義する。

$I_n$ に対して、中点 $c_n = (a_n + b_n)/2$ の正負に応じて、
$f(c_n) \geq 0$ ならば、$I_{n+1} = [a_n, c_n]$、
$f(c_n) < 0$ ならば、$I_{n+1} = [c_n, b_n]$ とする。

区間縮小法の原理により、ある数 $c \in I$ に対して、\[
\bigcap_{n\in N} I_n = \{ c \}
\] となり、\[
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \lim_{n\rightarrow\infty} b_n = c
\]である。
上記の区間の決め方より、常に、$f(a_n) < 0 \leq f(b_n)$ が成立していて、
$f(x)$ の連続性から、\[
\lim_{n\rightarrow\infty} f(a_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} f(b_n) = f(c)
\]であるから、$f(c) \leq 0 \leq f(c)$ となり、$f(c) = 0$ となる。
(証明終了)

(中間値の定理の証明)
$f(a) = f(b)$ の時は自明。
$f(a) \neq f(b)$ の場合は、$g(x) = f(x) - \gamma$ に対して、上記の系を適用する。
(証明終了)


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2014/11/23 00:14
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