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極値

極値と導値(微分係数)の関係について。

極大(極小)(定義)
実数値関数 f について、内点 a において、a のあるε近傍における最大値(最小値)を取るとき、
f は a で極大(極小)となるという。
両方合わせて、極値を取るという。

極値と導値の関係
実数変数実数値関数 $f : A \rightarrow R$ ($A \subset R$) について、
f が A の内点 x で極値を取り、f が x で微分可能ならば、
$f'(x) = 0$ である。

(証明概略)
極大の時について示す(極小についても同様)。

あるε近傍において、x で最大値となるから、
x における左導値は正または0となり、
x における右導値は負または0となる。

微分可能性の要請から、左右の導値は一致しなければならないから、
導値は0となる。
(証明終了)


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2014/11/27 12:06
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