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ロールの定理

ロールの定理
R の有界閉区間 $I = [a,b]$ で連続、かつ、 内部 $I^\circ = (a,b)$ で微分可能な
実数値関数 $f(x)$ が $f(a) = f(b)$ を満たすならば、
$f'(c) = 0$ なる実数 $c \in I^\circ$ が存在する。

(証明概略)
f が定数関数の場合は自明。

f が定数ではないとすると、
ある $x \in I^\circ$ において、$f(x) \neq f(a) = f(b)$ である。

ここで、$f(x) > f(a)$ とする。
I は有界閉区間であるから、ある $c \in I$ で最大値に達する。
$f(c) \geq f(x) > f(a) = f(b)$ であるから、$a < c < b$ である。

よって、c は I の内点となるから、
上記は f は c で極大となることを示している。
f は I の内部で微分可能であるから、$f'(c) = 0$ となる。

$f(x) < f(a)$ の場合は、最小値を考えれば、同様に示される。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2014/12/01 00:10
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