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平均値の定理

平均値の定理
R の有界閉区間 $I = [a,b] (a < b)$ で連続、かつ、 内部 $I^\circ = (a,b)$ で微分可能な
実数値関数 $f(x)$ において、\[
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}
\tag{1}
\]となる実数 $c \in I^\circ$ が存在する。

(証明概略)
(1) の右辺を $l$ とおき、\[
\varphi(x) = f(x) - lx
\]とおくと、$\varphi(a) = \varphi(b)$ となるから、
ロールの定理より、$\varphi'(c) = 0$ となる $c \in I^\circ$ が存在する。

よって、\[
\varphi'(c) = f'(c) - l = 0
\]であり、(1) が証明された。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2014/12/01 00:26
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