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偏微分の可換性

$R^2 \rightarrow R$ の関数 $f(x,y)$ において、
$f_{xy}$ と $f_{yx}$ がともに存在して、連続であるならば、それらは等しい。
つまり、\[
f_{xy} = f_{yx}
\tag{1}
\]

これを逐次適用して、一般に拡張すると、
$R^n \rightarrow R^m$ の関数 f においても、
任意の2つの偏微分操作を交換したものがともに連続であれば、それらは等しい
ことが言える。

さらに、拡張すると、
k 階までのすべての偏導関数が存在して、連続ならば、
(このことを $C^k$ 級、または k 回連続微分可能と呼ぶ)
k 階までの任意の偏微分操作を交換したものはすべて等しい
ことも示される。

一般への拡張は機械的にできるので、
(1) の2変数2階の場合だけを示すことにする。

(証明概略)
定義域の任意の内点 $c = (a, b)^T$ で小さな $l = (h, k)^T$ を考え、\[
\varphi(x) = f(x, b+k) - f(x, b)
\]なる関数を考える。微分すると、\[
\varphi'(x) = f_x(x, b+k) - f_x(x,b)
\]である。\[
\Delta(h,k) = f(a+h, b+k) - f(a+h, b) - f(a, b+k) + f(a,b)
\]なるものを考えると、\[
\Delta(h,k) = \varphi(a+h) - \varphi(a)
\]$\varphi(x)$ について平均値の定理を用いて、ある $0 < \theta < 1$ に対して、\[
\Delta(h,k) = h\varphi'(a + \theta h) = h\{ f_x(a+\theta h, b+k) - f_x(a+\theta h, b) \}
\]$f_x(a+\theta h, y)$ について再び平均値の定理を用いて、ある $0 < \theta' <1$ に対して、\[
\Delta(h,k) = hk f_{xy}(a+\theta h, b+\theta' k)
\]$f_{xy}$ が c で存在して、連続であるならば、\[
\lim_{l\rightarrow 0, hk \neq 0} \frac{\Delta(h,k)}{hk} = f_{xy}(c)
\]
今度は、\[
\psi(y) = f(a+h,y) - f(a,y)
\]とおいて、同様のことを行うと、
$f_{yx}$ が c で存在して、連続であるならば、上記の極限は\[
\lim_{l\rightarrow 0, hk \neq 0} \frac{\Delta(h,k)}{hk} = f_{yx}(c)
\]とも表される。
よって、\[
f_{xy}(c) = f_{yx}(c)
\]
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(2) | 2014/12/23 16:07
コメント
No title
証明の1行目のh=(l,k)の部分は、l=(h,k)ではないですか?


簡単に証明できそうだと思いきや、平均値の定理を2回使って地味にハードな証明だなぁって授業中に思った記憶があります。
Ryさんへ
ご訪問ありがとうございます。
Ryさんのブログもいつも拝見しております。

証明の1行目、書き間違えておりました(汗)
ご指摘ありがとうございます。

イメージとしてはわくのですが、証明しようとすると、
確かに地味にハードですね(笑)

授業で習ったのはウン十年前なので、
証明自体は忘却の彼方だったのですが、
この性質じたいは覚えていて、証明が気になってました。

最近、仕事の実験物理で実際にこの性質を利用することがあって、
意外と役に立つものなんだなあ・・・と感慨深かったです(笑)



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