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一次元シュレディンガー方程式の数値計算 (2)

というわけで、まずは、前記事1番の微分方程式を解く方法で挑戦してみます。

解くべき方程式は、\[
-\frac{\hbar^2}{2m} u''(x) + V(x) u(x) = Eu(x)
\tag{1}
\]
変形して、\[
u''(x) = -\frac{2m}{\hbar^2}\{ E-V(x) \} u(x)
\tag{2}
\]
ここで、\[
\alpha(x) \equiv \frac{2m}{\hbar^2}\{ E-V(x) \}
\tag{3}
\]と置いてしまうと、解くべき方程式は、\[
u''(x) = -\alpha(x) u(x)
\tag{4}
\]α(x) は長さの2乗の逆数(つまり、波数の2乗)の次元。

これを4次ルンゲ・クッタ法で解くことにしましょうか・・・

4次のルンゲクッタといえば、証明に難航しておりましたが、
まあ、公式は与えられているので、とりあえず、使うことにします。

2階微分まで含んでるから、処理が必要ですね。
$u' = v$ とおいて、(4) 式と合わせて、
\[
u' = v \\
v' = \alpha u
\tag{5}
\]という一階の連立微分方程式に帰着させる。

さて、初期条件をどうすればよいか。

とりあえず、原点に対して対称なポテンシャルのみを考えることにして、
パリティの決まった解のみを探せばいいんだろうか。

縮退がなければ、それでよさそう。
縮退があっても、2つの解を線形に組み合わせて、パリティの決まった解に持って行けたはず。
3つ以上とか無限に縮退している場合は、どうなるんだろう?

まあ、そんなことは後で考えよう・・・
とりあえず、縮退のない系を解くことにする。

縦方向のスケールは、後から規格化すれば任意でよいので、
$x=0$ における初期条件を
奇関数に対しては、\[
u_o(0) = 0, \ u_o'(0) = v_o(0) = 1
\tag{6.1}
\]偶関数に対しては、\[
u_e(0) = 1, \ u_e'(0) = v_e(0) = 0
\tag{6.2}
\]として、解けばよいのだろうか。

あまり自信がないですが、この方針で。
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数値計算>量子力学 | コメント(0) | 2014/12/11 12:53
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