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調和振動子の固有状態の数値計算 (1)

一次元シュレディンガー方程式の数値計算の例として、
調和振動子の固有状態を計算してみようと思います。

解くべきシュレディンガー方程式は、\[
-\frac{\hbar^2}{2m} u'' - \frac{1}{2} m\omega^2 x^2 u = Eu
\tag{1}
\]
ここで、エネルギー E と 位置座標 x に関して、\[
E \rightarrow \frac{\hbar\omega}{2} E
\tag{2}
\]\[
x \rightarrow \left( \frac{\hbar}{m\omega} \right)^{1/2} x
\tag{3}
\]という無次元化を行うと、式は簡単になり、\[
u'' = (x^2 - E) u
\tag{4}
\]となる。この時、ポテンシャルも\[
V = x^2
\tag{5}
\]と無次元化される。

解析解はよく知られている通り、非負の量子数 n = 0, 1, 2, ・・・ に対して、\[
E = 2n + 1
\tag{6}
\]となる時だけ、無限遠で発散しない解となり、規格化因子を無視すると、\[
u(x) = H_n(x) \exp(-x^2/2)
\tag{7}
\]となる( $H_n$ はエルミートの多項式)。

まず、n = 0 すなわち E = 1 (基底状態)の近傍で、E を掃引しながら
4次ルンゲクッタ法で数値計算して、確認してみる。
偶関数が期待されるので、初期条件として、$u(0) = 1$、$u'(0) = 0$ とした。

1DTISEHarmonicOsc01.png

E = 0.5 から 0.1 間隔で E = 1.2 まで振ってみた。
確かに、E = 1.0 のところで発散しない解が得られているようだ。
n = 0 の解析解 $u = \exp (-x^2/2)$ (緑の点線)とも一致している。

今度は、n = 1 すなわち E = 3 (第一励起状態)の近傍で
奇関数の初期条件 $u(0) = 0$、$u'(0) = 1$ として計算してみる。
1DTISEHarmonicOsc02.png
やはり、 E = 3.0 のところで発散しない解が得られる。
n = 1 の解析解 $u = x \exp(-x^2/2)$ (緑の点線)とも一致している。

参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(上)
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数値計算>量子力学 | コメント(0) | 2014/12/18 12:15
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