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調和振動子の固有状態の数値計算 (2)

前回、あらかじめ分かっている固有値の付近で E の値を動かして、
無限遠で発散しない解を見つけたが、
あらかじめ答が分かっていない場合を想定して、
E を広範囲で掃引して、解を見つけたい。

ここで悩ましいのが無限遠の設定

前回の計算では、とりあえず、x = 5 に設定していた。
x の値は、ポテンシャルが $V = x^2$ になるように無次元化されている。

1DTISEHarmonicOsc03.png

古典的に許容される領域は、$E \geq V = x^2$ だから、
古典軌道の端点は、$x = \pm \sqrt{E}$。

前回のように、 E = 1 や 3 であれば、x = 5 を無限遠としてもよさそう。
E を大きくしていって、E = 25 になると、x = 5 が古典軌道の端点になってしまい、
さらに E を大きくすると、古典的に許容される領域に入ってしまう。

無限遠を初めからもっと大きい値に設定すればよいのだが、
そうすると、途中の誤差が蓄積してしまうせいなのか、
E が固有値になっている場合でも、発散してしまう。

とりあえず、E = 0 から E = 50 まで E を 0.5 刻みで掃引して、
x = 5 における値を計算してみた。

偶関数の場合。
1DTISEHarmonicOsc04.png
奇関数の場合。
1DTISEHarmonicOsc05.png

x = 5 における値がゼロになる点(このグラフの零点)が固有値。

たとえば、偶関数の方で見ると、初めのうちは、E = 1, 5, 9 と 4 ずつ増えているが、
そのうち、少しずつずれてくる(赤丸の位置が零点とずれている)
これは、x = 5 が無限遠とみなせなくなるから。

たとえば、無限遠を古典領域の端点の2倍のところ、
すなわち、$ x = 2\sqrt{E}$ などと取ると、どうなるだろう?
やってみたいと思います。
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数値計算>量子力学 | コメント(0) | 2014/12/29 11:28
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