スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

自由電磁場のラグランジアン (1)

電磁場の量子化をやるために、電磁場のラグランジアンを見ておきます。

以前にこちらの記事でも書いたように、
電磁場中の荷電粒子の運動を記述するラグランジアンではなくて、
電磁場自体のラグランジアンのこと。

荷電粒子のラグランジアンが
そのオイラー・ラグランジュ(EL)方程式が運動方程式に対応するのに対し、
電磁場のラグランジアンは、
そのEL方程式がマックスウェル方程式になるようなもの。

電磁場の量子化については、今までいろんな本を読んだのですが、
いまいち理解できず、今のところ、シッフ [1] が一番分かりやすそう・・・
ということで、シッフにならって、まずは、
4元形式(ローレンツ共変形)ではなく、
通常の電場と磁場を分けた表記でいきます。

シッフではCGSガウス単位系が使われていますが、
僕はへヴィサイド・ローレンツ(HL)単位系 が好きなので、
HLで行くことにします。
自分で勝手に単位系を変換しているので、間違ってるかもしれません、ご注意を!

と、前置きはこのぐらいにして、まずは復習。

電荷・電流のない自由場におけるマックスウェル方程式。
詳細については、こちらを参照。\[
\nabla \cdot {\bf E} = 0
\tag{1.1}
\]\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial \bf E}{\partial t} = 0
\tag{1.2}
\]\[
\nabla \cdot {\bf B} = 0
\tag{1.3}
\]\[
\nabla \times {\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial \bf B}{\partial t} = 0
\tag{1.4}
\]
(1.1) と (1.2) は、電荷・電流をソースとする式で、
電荷・電流がないという仮定により、右辺がゼロになっている。

(1.3) と (1.4) は、常に成り立ち、
磁荷・磁流なるものが存在しないことを示している。

電場・磁場を電磁ポテンシャルで表すと、\[
{\bf E} = -\nabla\phi - \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf A}}{\partial t}
\tag{2.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{2.2}
\]
これにより、マックスウェル方程式の (1.3) と (1.4) は自動的に成立する。

(1.1) と (1.2) は、\[
-\nabla^2\phi - \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot{\bf A}) = 0
\tag{3.1}
\]\[
\Box {\bf A} + \nabla \left( \nabla\cdot{\bf A} + \frac{1}{c}\frac{\partial\phi}{\partial t} \right) = 0
\tag{3.2}
\]となる。
ここで、ダランベルシアンは、\[
\Box \equiv \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2
\tag{4}
\]と定義される。
詳細はこちらを参照。

最後に、電磁場のエネルギーの表式。
(後で出てくるので復習しておく)\[
u = \frac{1}{2}\left[ {\bf E}^2 + {\bf B}^2 \right]
\tag{5}
\]

復習は、このぐらいで終了。
次回、ラグランジアンを見ていこうと思います。

参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(下)
[2] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
スポンサーサイト
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2014/12/29 20:21
コメント

管理者のみに表示

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。