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自由電磁場のラグランジアン (2)

あけましておめでとうございます。
昨年中は、ご訪問いただき、ありがとうございました。
本年もよろしくお願いします。

今年は特に、抱負とか書きません(笑)

いろいろ、勉強したい方向性はたくさんあるのですが、
やりたいことをやれるだけ、マイペースでやってみるだけ
(仕事を除いて・・・仕事はそうはいきませんから・・・笑)

というわけで、さっそく本題に。

自由な電磁場のラグランジアン密度は以下で与えられる。\[
\mathscr{L} = \frac{1}{2} ( {\bf E}^2 - {\bf B}^2 )
\tag{1}
\]
いきなり、天下りだが(汗)、変分原理によるEL方程式が
マックスウェル方程式に帰着される
ことを確認すればよい。

ここで、場の変数は、E と B ではなく、A と Φ である。
(1) の具体的な形は、\[
\mathscr{L} = \frac{1}{2} \left[
\left( \nabla \phi + \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t} \right)^2
- (\nabla \times {\bf A} )^2
\right]
\tag{2}
\]となる。
$A_x$, $A_y$, $A_z$, $\phi$ の4つの場の変数に対して、
変分を考えた場合のEL方程式がマックスウェル方程式になることを確認する。

ここで、一般の場の場合のEL方程式の作り方を思い出しておく。
詳細はこちらを参照。\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \psi} - \sum_{x,y,z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial\psi/\partial x)} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\psi}} = 0
\tag{3}
\]
まずは、$A_x$ を場の変数とした時の EL方程式を作ってみる。\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_x}
- \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_x A_x)}
- \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_y A_x)}
- \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_z A_x)}
- \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{A_x}} = 0
\tag{4}
\]
(2) のラグランジアンの中の\[
\begin{array}{l}
(\nabla \times {\bf A})^2 \\
= (\partial_y A_z - \partial_z A_y)^2
+ (\partial_z A_x - \partial_x A_z)^2
+ (\partial_x A_y - \partial_y A_x)^2
\end{array}
\]に注意して計算すると、\[
- \frac{\partial}{\partial y}(\partial_x A_y - \partial_y A_x)
+ \frac{\partial}{\partial z}(\partial_z A_x - \partial_x A_z)
- \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla \phi + \frac{1}{c}\dot{A_x} \right)
= 0
\]となり、\[
(\nabla \times {\bf B})_x - \frac{1}{c} \frac{\partial E_x}{\partial t} = 0
\tag{5}
\]となる。
$A_y$, $A_z$ についても同様に計算すると、\[
\nabla \times {\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = 0
\tag{6}
\]となり、マックスウェル方程式の一つ(前記事の (1.2) 式) が得られる。

あと、残りの場 Φ について、EL 方程式を計算してみる。\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi}
- \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_x \phi)}
- \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_y \phi)}
- \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_z \phi)}
- \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\phi}} = 0
\tag{7}
\]ラグランジアン (2) について計算すると、\[
\partial_x \left(\partial_x \phi + \frac{1}{c}\dot{A_x} \right)
+ \partial_y \left(\partial_y \phi + \frac{1}{c}\dot{A_y} \right)
+ \partial_z \left(\partial_z \phi + \frac{1}{c}\dot{A_z} \right)
= 0
\]となり、\[
\partial_x E_x + \partial_y E_y + \partial_z E_z = 0
\tag{8}
\]となる。
こうして、マックスウェル方程式の一つ(前記事の (1.1)式)\[
\nabla \cdot {\bf E} = 0
\tag{9}
\]が得られることが確かめられた。

残りの2つのマックスウェル方程式(前記事の (1.3), (1.4) 式)は、
電磁ポテンシャルの定義から自動的に成立する。

というわけで、(1) ないし (2) で与えられたラグランジアンが
自由な電磁場を記述するラグランジアンであることが確認できた。


参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(下)
[2] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"


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物理>電磁気学 | コメント(0) | 2015/01/01 14:58
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