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∫ ゲージ (2)

ゲージの意味が理解できたわけではないのですが、
たぶん、量子論を勉強していくうちに、
分かってくるんじゃないかなと、希望的観測を持っています(汗)

そんなわけで、とりあえず、今は分かってませんが、
現在、分かっている知識と勝手な想像をつけて、まとめておいて、
少しずつ理解を深めていこうと思います。
(理解して書いてるわけではないので、内容はご注意ください)

まずは、真空中のMaxwell方程式からスタート。

\[
\nabla\cdot{\bf E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{1}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0 \tag{2}
\]\[
\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} \tag{3}
\]\[
\nabla \times {\bf B} = \mu_0 \left[ {\bf j} + \varepsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} \right] \tag{4}
\]

(2)と(3)を満足するように、(E、B)をポテンシャル(A、φ)で表現する。

\[
{\bf E} = -\nabla \phi - \frac{\partial {\bf A}}{\partial t} \tag{5}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A} \tag{6}
\]

この時点で、(2)と(3)は自動的に成立するから、
あとは、(1)と(4)にこれらを代入して、
(1)と(4)の2つの式を(A,φ)による表現にしたものが場の方程式となる。

\[
\nabla \times \nabla \times {\bf v} = \nabla (\nabla\cdot{\bf v}) - \Delta {\bf v}
\]
というベクトル解析の公式を利用して、整理すると、

\[
-\Delta\phi - \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot{\bf A}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{7}
\]\[
\Box {\bf A} + \nabla \left[ \nabla\cdot{\bf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} \right]
= \mu_0 {\bf j} \tag{8}
\]

この2つの式が、ポテンシャルで表現した場の方程式。

でも、ちょっと複雑。
そこで、ポテンシャル(A、φ)は、ゲージ変換しても同じEとBを与えるから、
適当にゲージ変換して、もっと見やすくすることを考える。

どうせ、知りたいのはEとBなんだから、
どんなゲージを使っても、最終的に答えは同じだよね!

という理解でいいのかな?
少なくとも、古典論の範囲では、それでいいような気がします。

まずは、クーロンゲージ
\[
\nabla\cdot{\bf A} = 0
\]
となるように、ゲージを選ぶと、
\[
- \Delta \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{9}
\]\[
\Box {\bf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\phi)
= \mu_0 {\bf j} \tag{10}
\]
となる。

ここからは、僕の勝手な想像を多く含んでいるので、要注意!

(9)を見ると、クーロンの法則(ポアソン方程式)そのものになっている。
この式は、
\[
- \Delta \phi ({\bf r},t) = \frac{\rho ({\bf r},t)}{\varepsilon_0} \tag{9}
\]
であることに注意すると、
電荷分布の時間変化が瞬時に遠隔地のポテンシャルに伝わる
ということになる。

相対論的におかしいように見えるけど、そうではなくて、
実際に現象に現れるのはEとBだから、
ポテンシャルが瞬時に変化しても構わない。
もうひとつの(10)式の方から計算されるAの変化も考慮すると、
遠隔地の電場と磁場が瞬時に変化するというわけではない

・・・という理解で、いいのかな?

次は、ローレンツゲージ
こちらは、ローレンツ条件
\[
\nabla\cdot{\bf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} = 0
\]
が満たされるように、ゲージを選ぶと、

\[
\Box \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{11}
\]\[
\Box {\bf A} = \mu_0 {\bf j} \tag{12}
\]
という見事なまでにすっきりした表現になる。

この2つの式は、波動方程式の形になっているので、
ポテンシャル(A、φ)は、電荷と電流の源から光速で伝わっていく波動状の解となる。

とりあえず、分かっている気がするのは、ここまで。
だから、何なのかというのがよく分かりません。

なんでもいいから、式がとにかく分かりやすくなるゲージを使えってことなのでしょうか?(笑)
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物理>電磁気学 | コメント(2) | 2012/02/07 19:04
コメント
磁場産業
 dyneさん こんにちは。
 物理の記事には、やはり 私がコメントを(笑)
 『電荷分布の時間変化が瞬時に遠隔地のポテンシャルに伝わる』と『ポテンシャルが瞬時に変化しても構わない。』は、なんとなくわかりましたが、『遠隔地の電場と磁場が瞬時に変化するというわけではない』は よく分かりませんでしたぁ(´ヘ`;)
dyneさんがおしゃるとおり、式がとにかく分かりやすくなるゲージを使えってことなんだと 私も思います(・・。)ゞ テヘ
 ではまた☆
コウさんへ
>物理の記事には、やはり 私がコメントを(笑)
いつも、こんな記事にコメントいただき、ありがとうございます^^

> 『電荷分布の時間変化が瞬時に遠隔地のポテンシャルに伝わる』と『ポテンシャルが瞬時に変化しても構わない。』は、なんとなくわかりましたが、『遠隔地の電場と磁場が瞬時に変化するというわけではない』は よく分かりませんでしたぁ(´ヘ`;)
相対性理論によると、相互作用が光速を超えて伝わってはいけないとされているので、電荷や電流が変化することによって、遠隔地の電場と磁場が瞬時に変化してしまうというのは理屈に合わなくなってしまうんですね。
この式では、確かに、スカラーポテンシャルΦは瞬時に変化してしまうことになりますが、電場は、スカラーポテンシャルΦだけでなく、ベクトルポテンシャルAにも依存しているので、実際には瞬時に変化してしまう形にはならないんですね。

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