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調和振動子の固有状態の数値計算 (3)

調和振動子の固有状態の数値計算の続き。

予告した通り、無限遠を古典軌道の振幅($\sqrt{E}$)の2倍の点、
すなわち、 $x = 2\sqrt{E}$ のところに設定してみた。

x の刻みは h = 0.01。
偶関数の初期条件 $u(0) = 1$、$u'(0) = 0$ で、
各 E に対して、$x = 2 \sqrt{E}$ の時の u の値 $u_{\rm inf}$ を
4次ルンゲ・クッタで計算して、プロットしたものがこちら。

1DTISEHarmonicOscUinf01.png

E の刻みは、前回よりも細かくして、0.01 刻みにした。
E = 0.5 から 100 までおよそ 10000 個の値に対して計算しているが、
ノートパソコンで数十秒ほどで計算できてしまう(速いね!^^)

見てるウィンドウ |u|≦1 の中にデータ点がほとんど入ってないので、
ダメじゃんって思ったけど、もう少し細かく見てみることにする。
(ちなみに、E > 81 のところでは完全に発散してしまった)

まずは、E = 13 付近を拡大。

1DTISEHarmonicOscUinf02.png

計算したのは、0.01 刻みだが、グラフソフトが線形補間してくれる。
(E = 13.0000000 のところにデータ点がないのは、点を表示する設定を忘れてしまっただけ)

このグラフでゼロクロスしているところが固有値になる。
つまり、E = 13.00000012 が計算された固有値。

意外と、いい精度出てる!!!

真の理論値が E = 13 だから、
ΔE / E = 0.00000012 / 13 ≒ 10-8
8桁の精度が出てることになる。
こんな適当な計算で8桁も出るとはびっくり(笑)

次に、E = 61 の付近を見てみた。
1DTISEHarmonicOscUinf03.png

こちらは先ほどよりは精度が悪くなっているが、それでも7桁近く出ている。
これぐらいなら使えそう。

最後に、前回の無限遠を x = 5 に設定したケースで同じ部分を拡大して比較してみた。
1DTISEHarmonicOscUinf04.png
公平を期すために、こちらも E の刻みを 0.01 刻みで計算し直した。
2 √13 ≒ 7.2 なので、5 とそれほど変わらないけど、それでもだいぶ精度が違うようである。
(もっと E の大きいところで比較してみればよかったなあ・・・)

というわけで、線形補間すれば、結構な精度が出ることが分かった。

次は、線形補間を自動化して、固有値の近似値をすべて一気に計算できるように
プログラミングしてみようと思う。
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数値計算>量子力学 | コメント(0) | 2015/01/20 22:35
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