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一次元クーロン場の固有状態の数値計算 (1)

解析的に解けない例として(たぶん解けないと思う)、計算してみたかったのが
一次元クーロン場の固有状態。

一次元クーロンポテンシャルはこんな感じのもの。\[
V(x) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 x}
\tag{1}
\]
こんなものは実際には存在しませんが、
3次元クーロンポテンシャルを疑似的に扱うのに使えるようです。

ただし、原点に特異性があると扱いにくいので、\[
V(x) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{x^2 + a^2}}
\tag{2}
\]と修正する( soft-core potential と呼ぶそうです)

原点の特異性が取り除かれて、
x >> a の遠方では (1) のクーロンポテンシャルに漸近する。
こうすることによって、原点を通過する電子の動きが計算できるとのこと。
確かに、便利そうですね!

さっそく、シュレディンガー方程式を立てる。\[
-\frac{\hbar^2}{2m} u'' - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{x^2+a^2}} u = Eu
\tag{3}
\]原子単位系を用いて、長さの単位をボーア半径\[
x_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{me^2}
\tag{4}
\]エネルギーの単位をハートリーエネルギー\[
E_0 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 x_0}
= \frac{me^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2}
\tag{5}
\]としてスケーリングすると、\[
-\frac{1}{2} u'' - \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} u = Eu
\tag{6}
\]と簡単化できる。u'' について解いて、\[
u'' = -2\left( E + \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \right) u
\tag{7}
\]を4次ルンゲクッタで計算する。


参考文献
[1] J. H. Eberly et al. "Numerical Experiments in Strong and Super-Strong Fields"
in M. Gavrila Ed. "Atoms in Intense Laser Fields"

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数値計算>量子力学 | コメント(0) | 2015/01/27 13:04
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