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一次元クーロン場の固有状態の数値計算 (2)

Soft-core pontential で a = 1 (ボーア半径)の場合を計算してみる。\[
V(x) = -\frac{1}{\sqrt{x^2 +1}}
\tag{1}
\]まずは、ポテンシャルの形を実際のクーロンポテンシャル\[
V(x) = -\frac{1}{|x|}
\tag{2}
\]と比較すると、こんな感じ。
Coulomb1D01.png
結構違ってるけど、まあ、遠く離れると、一致してます・・・

調和振動子の時と同様に、無限遠における零点を直線補間で求めてみる。

まずは、-0.9 ≦ E ≦ 0 の範囲を間隔 ΔE = 0.001 刻みで。
無限遠点は x = 100 に設定。

下から順番に固有エネルギーをプロット。
Coulomb1DEValuesXinf100.png
分かりやすいように、1 a.u. = 27.2114 eV を使って、
eV 単位に変換したものはこちら。
Coulomb1DEValuesEVXinf100.png
文献[1] によると、基底状態は、E = -0.67 a.u. と書かれていて、
こちらの計算結果は E = -0.669761 a.u. となっているので、
基底状態については、計算結果あってそうです。

eV で言うと、 約 18 eV でネオンの基底準位に近いらしいですね。
水素は 13.6 eV ( = 0.5 a.u.) なので、a の値を調整すれば近づけられるんだろうか・・・

文献 [1] によれば、3次元の場合と同様に、
エネルギー固有値は、$1/n^2$ のスケールに乗るらしい。

[1] に載っているように、$1/\sqrt{|E_n|}$ をプロットしてみた。
Coulomb1DEValuesEVXinf100n2scaled.png
確かに乗っている。上の方は、E = -0.01 に近づいてきて、
無限遠の設定値 x = 100 が古典的許容領域に入ってきてしまっているからでしょう。

上の方の励起状態は、無限遠をもっと大きい値に設定して、
エネルギー間隔も狭くなってくるので、さらに細かく刻んで計算する必要いがありそう。

両対数プロットしても、直線上に乗るはず。
Coulomb1DEValuesEVXinf100n2scaledLog.png
基底状態 (n=1) のところで少し曲がってるようにも見えますね・・・
この付近は、クーロンポテンシャルからはずれているので、
直線に乗らなくても問題はないのですが。

次回は、上の方の励起状態を細かく計算してみたいと思います。

参考文献
[1] J. H. Eberly et al. "Numerical Experiments in Strong and Super-Strong Fields"
in M. Gavrila Ed. "Atoms in Intense Laser Fields"
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数値計算>量子力学 | コメント(0) | 2015/02/02 12:07
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