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電磁場の量子化 (5)

次に、∇・E や ∇・B の E, B との交換関係を考える。

明らかに、∇・E は E と可換で、∇・B は B と可換

∇・E と B の交換関係を考える。\[
[\nabla\cdot{\bf E}, B'_x]
= \partial_y [E_y, B'_x] + \partial_z [E_z, B'_x]
\tag{1}
\]ここに、E と B の交換関係\[
[E_y, B'_x] = -ic\hbar \partial'_z \delta^3(r-r')
\tag{2}
\]\[
[E_z, B'_x] = ic\hbar \partial'_y \delta^3(r-r')
\tag{3}
\]を適用。さらに、\[
\partial'_z f(r-r') = -\partial_z f(r-r')
\tag{4}
\]等の性質を利用すると、上記 (1) の交換関係はゼロとなる。\[
[\nabla\cdot{\bf E}, B'_x] = 0
\tag{5}
\]同様に、E と B は交換関係において、対称だから、\[
[\nabla\cdot{\bf B}, E'_x] = 0
\tag{6}
\]
というわけで、∇・E や ∇・B は E, B いずれとも可換ということが分かる。

このことから、∇・E や ∇・B はハミルトニアン\[
H = \frac{1}{2} \int [ {\bf E}^2 + {\bf B}^2 ] d^3r
\tag{7}
\]とも可換である。

つまり、∇・E や ∇・B は運動の恒量であり、
初期条件でゼロにしておくと、常に、\[
\nabla\cdot{\bf E} = \nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{8}
\]が満たされる。

参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(下)
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電磁場の量子化 | コメント(0) | 2015/02/10 07:27
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