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ネーターの定理 (1)

場の量子論の初歩を勉強していて、「ネーターカレント」なるものが出てきて、
よく分からなくなったので、まずは、古典力学の「ネーターの定理」をお勉強。

無限小の点変換\[
q'_r(t) = q_r(t) + \delta q_r(t)
\tag{1}
\]を行った時に、ラグランジアンが不変であるような場合を考える。

「ラグランジアンが不変」の意味は、$L(q, \dot{q}, t)$ が
そのまま L の関数形を変えずに、 $L(q', \dot{q'}, t)$ になるということ。

この時、ラグランジアンの変化は、\[
\delta L
= \frac{\partial L}{\partial q_r} \delta q_r
+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} \delta \dot{q}_r
\tag{2}
\]ただし、アインシュタイン表記を用いて、r についての和を取る。
第二項を変形して、\[
\delta L
= \left \{
\frac{\partial L}{\partial q_r} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} \right \} \delta q_r
+ \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} \delta q_r \right)
\tag{3}
\]{・・・}の部分は、実際の古典軌道であるならば、
オイラーラグランジュ方程式が満たされるので、ゼロとなる。
すなわち、\[
\delta L = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} \delta q_r \right)
\tag{4}
\]ラグランジアンが不変であるから、$\delta L = 0$ より、\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} \delta q_r \right) = 0
\tag{5}
\]無限小変換が無限小パラメータ ε を用いて、\[
\delta q_r = \varepsilon S_r(q, t)
\tag{6}
\]と表せるとすると、\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} S_r \right) = 0
\tag{7}
\]となり、\[
X \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r} S_r
\tag{8}
\]で定義される量は、保存量となる。

つまり、ラグランジアンが不変となるような何らかの対称性があれば、
そこから保存則を導くことができる。


参考文献
[1] 大貫義郎 「解析力学」 (岩波物理テキストシリーズ)
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物理>古典力学 | コメント(0) | 2015/02/10 23:10
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