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ネーターの定理 (2)

例1:並進対称性
デカルト座標系 x, y, z で考える。
ポテンシャル V が x によらないとすると(つまり、x 軸方向に力が働かない)、
ラグランジアンは\[
L = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - V(y,z)
\tag{1}
\]となり、x 軸方向の無限小並進変換\[
x' = x + \varepsilon \\
y' = y \\
z' = z
\tag{2}
\]に対して不変である。
このとき、$S_x = 1$、$S_y = S_z = 0$ であるから、ネーターの保存量は、\[
X = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} S_x = m\dot{x} = p_x
\tag{3}
\]となり、運動量の x 成分の保存則が導かれる。

例2:平面内の回転対称性
平面内の極座標 r, θで考える。
ポテンシャルが θ によらない(つまり中心力場)と仮定すると、
ラグランジアンは、\[
L = \frac{m}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 ) - V(r)
\tag{4}
\]となり、無限小回転変換\[
r' = r\\
\theta' = \theta + \varepsilon
\tag{5}
\]に対して不変である。

$S_r = 0$、$S_\theta = 1$ だから、
ネーターの保存量は、\[
X = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} S_\theta = mr^2 \dot{\theta} = l
\tag{6}
\]となり、角運動量保存則が導かれる。

・・・と、ここまでは分かりやすいのですが、
時間も無限小変化させたバージョンのネーターの定理があって、
それが難しくて、理解できない。。。
でも、これが場の量子論には必要なようです。
(場の量子論は、基本的に4元形式で記述されるから・・・)

参考文献
[1] 大貫義郎 「解析力学」 (岩波物理テキストシリーズ)
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物理>古典力学 | コメント(0) | 2015/02/10 23:48
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