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グラフェンのバンド構造 (2)

K点(ディラック点)付近での群速度を求めてみます。
解析式を微分しても求まるかもしれませんが、面倒なので、
前回のグラフから求めます。

こちらがK点付近を拡大したグラフ。
graphene-band-vg.png

横軸は前回は kx で書いたが、
今回は、Γ点からK点に至る直線上の k の値でプロットしている。

傾きをフィッティングで求めると、\[
\frac{dE}{dk} = 4.5 ({\rm eV} \cdot a)
\]
変な単位だが、C-Cの原子間距離 a = 1.42Å を長さの単位量としている。
これを eV・m に変換すると、\[
\frac{dE}{dk} = 4.5 \times 1.42 \times 10^{-10} = 6.4 \times 10^{-10} ({\rm eV \cdot m})
\]
群速度を求めるには、\[
v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{1}{\hbar} \frac{dE}{dk}
\tag{1}
\]を用いればよくて、$\hbar = 6.58 \times 10^{-16}$ (eV s) だから、\[
v_g = \frac{6.4 \times 10^{-10}}{6.58 \times 10^{-16}} \simeq 10^6 ({\rm m/s}) \simeq \frac{c}{300}
\]と計算できる。
確かに非常に高速であるということが分かりました。

ところで、通常のバンドは底の部分で、\[
E = \frac{p^2}{2m^*} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}
\tag{2}
\]のような放物線の形をしているため、
有効質量 m* を持つ古典粒子のように考えられる。

ところが、グラフェンのバンド構造は分散が線形になっており、
相対論的粒子\[
E = \sqrt{ {m^*}^2 c^4 + p^2 c^2}
\tag{3}
\]において、質量ゼロ $m^* = 0$ の場合の\[
E = pc = c\hbar k
\tag{4}
\]の状態として考えることができる。

参考文献
[1] A. J. Legett "Graphene: Electronic band structure and Dirac fermions"
http://web.physics.ucsb.edu/~phys123B/w2015/leggett-lecture.pdf
[2] J.- N. Fuchs, M. O. Goerbig, "Introduction to the Physical Properties of Graphene"
http://web.physics.ucsb.edu/~phys123B/w2015/pdf_CoursGraphene2008.pdf
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物理>物性・固体物理 | コメント(0) | 2015/02/25 18:10
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