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ルジャンドル陪関数 (3)

久しぶりに、特殊関数の続き。

漸化式
\[
\left[ (1- x^2)\frac{d}{dx} + mx \right] P_l^m(x) = \sqrt{1-x^2} P_l^{m+1}(x)
\tag{1}
\]\[
\left[ (1- x^2)\frac{d}{dx} - mx \right] P_l^m(x) = -(l+m)(l-m+1) \sqrt{1-x^2} P_l^{m-1}(x)
\tag{2}
\]\[
\sqrt{1-x^2} P_l^{m+1}(x) = 2mx P_l^m(x) - (l+m)(l-m+1)\sqrt{1-x^2} P_l^{m-1}(x)
\tag{3}
\]

証明
(1) の証明
定義式より、\[
P_l^m(x) = \frac{1}{2^ll!}(1-x^2)^{m/2} \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l
\tag{4}
\]\[
\frac{d}{dx}P_l^m = -\frac{1}{2^ll!}mx(1-x^2)^{m/2-1} \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l \\
+ \frac{1}{2^ll!}(1-x^2)^{m/2} \frac{d^{l+m+1}}{dx^{l+m+1}}(x^2-1)^l
\]
より、\[
(1-x^2)\frac{d}{dx}P_l^m = -mx P_l^m + \sqrt{1-x^2}P_l^{m+1}
\]となり、(1) を得る。

(2) の証明
(1) の m に -m を入れたものも成り立つ。\[
\left[ (1- x^2)\frac{d}{dx} - mx \right] P_l^{-m}(x) = \sqrt{1-x^2} P_l^{-(m-1)}(x)
\tag{5}
\]前記事で示した式
\[
P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x) \tag{6}
\]を用いると、(2) を得る。

(3) の証明
(1) から (2) を引くと、(3) を得る。
(証明終了)


参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
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ルジャンドル陪関数 | コメント(0) | 2015/03/06 20:02
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