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ルジャンドル多項式で遊ぶ (1)

ルジャンドル多項式を直交基底として用いて、
いろんな関数を展開して遊んでみたいと思っています。

ワイヤストラスの近似定理なるものがあって、
有界閉区間で連続な任意の関数は、多項式で一様に近似できる
らしい。

つまり、$\{ 1, x, x^2, x^3, \cdots \}$ から生成される基底は、完全系をなす。

これを線形結合にして、直交化させたものがルジャンドル多項式だから、
ルジャンドル多項式も完全系をなす基底となる。
(厳密な論理にはなってないけど、雰囲気として・・・)

というわけで、
閉区間 [-1,1] で連続な関数は、ルジャンドル多項式で展開できるはず。

まずは、低次のいくつかを書いてみよう。\[
P_0(x) = 1 \\
P_1(x) = x \\
P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \\
P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) \\
P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)
\tag{1}
\]
イメージを高めるために、Maxima でグラフにしてみる。
LegendrePolyN0-4.png

Maxima では、legendre_p(n, x) という関数も実装されてるようだが、
式の定義がちょっと違うようで、分かりにくいので、使わないことにした。

以前の記事で直交性は確認している。\[
\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}
\tag{2}
\]
2/(2n+1) の係数がついているので、規格化はされていない。
規格化されていない直交基底になっている。

いくつか低次のもので確認しておこう。
\[
(P_0, P_0) = \int_{-1}^1 P_0(x)^2 dx = \int_{-1}^1 dx = 2 \\
(P_1, P_1) = \int_{-1}^1 P_1(x)^2 dx = \int_{-1}^1 x^2 dx = \frac{2}{3} \\
(P_2, P_2) = \int_{-1}^1 P_2(x)^2 dx = \frac{1}{4} \int_{-1}^1 (3x^2-1)^2 dx = \frac{2}{5}
\]
残りは面倒なので、Maxima にやらせる(笑)
LegendrePolyNormMaxima.png
つまり、\[
(P_3, P_3) = \int_{-1}^1 P_3(x)^2 dx = \frac{2}{7}
\]
直交性の方もいくつか確認しておくと、\[
(P_0, P_1) = \int_{-1}^1 P_0(x)P_1(x) dx = \int_{-1}^1 x dx = 0 \\
(P_0, P_2) = \int_{-1}^1 P_0(x)P_2(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 (3x^2-1) dx = 0 \\
(P_1, P_2) = \int_{-1}^1 P_1(x)P_2(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 x(3x^2-1) dx = 0 \\
\]など。

次は、これらの多項式で実際に関数を展開してみようと思います。

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
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ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2015/03/09 20:16
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