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ルジャンドル多項式で遊ぶ (2)

関数 $f(x)$ が(規格化されていない)直交多項式 $P_n(x)$ を用いて、\[
f(x) = a_0 P_0(x) + a_1 P_1(x) + a_2 P_2(x) + \cdots
\tag{1}
\]と展開できるとして、$P_n(x)$ との内積を取って、\[
(f, P_n) = a_n (P_n, P_n)
\]より、係数は\[
a_n = \frac{(f, P_n)}{(P_n, P_n)}
\tag{2}
\]と求められる。

Pn がルジャンドル多項式の場合は、\[
a_n = \left(n + \frac{1}{2} \right) (f, P_n)
\tag{3}
\]となる。

まず手始めに、自明な例として、もともとが多項式の場合、\[
f(x) = x^2
\]を展開してみることにする。
この場合は暗算で、\[
f(x) = x^2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}(3x^2-1) + \frac{1}{3} \times 1 \\
= \frac{2}{3} P_2(x) + \frac{1}{3} P_0(x)
\tag{4}
\]となりそうである。
ためしに、n=2 までの係数を計算してみると、\[
a_0 = \frac{1}{2} \int x^2 dx = \frac{1}{3} \\
a_1 = \frac{3}{2} \int x^3 dx = 0 \\
a_2 = \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} \int x^2 (3x^2 - 1) dx = \frac{2}{3}
\]となり、上記 (4) の展開係数と一致する。
(積分範囲は、-1から1とする。今後も省略する)

高次の展開係数については、(4) より、n > 2 に対して、\[
(f, P_n) = \frac{2}{3} (P_2, P_n) + \frac{1}{3} (P_0, P_n) = 0
\]から、必ず、ゼロとなる。

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ルジャンドル多項式 | コメント(0) | 2015/03/10 18:34
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