ルジャンドル多項式で遊ぶ (3)

次に、多項式でない関数を展開してみたい。
とりあえず、なんとなく・・・\[
f(x) = \cos x
\]なる関数を選んでみた。
係数を計算してみる。\[
a_0 = \frac{1}{2} \int \cos x dx = \sin 1
\]積分範囲は[-1,1]。以後も省略。\[
a_1 = \frac{3}{2} \int x\cos x dx = 0
\]奇関数だから、積分するとゼロ。\[
a_2 = \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} \int (3x^2-1) \cos x dx
\]これは真面目に計算しないといけない（汗）
部分積分を使うんだろうけど、面倒なので、Maximaでやると、\[
a_2 = \frac{5}{4} (12 \cos 1 - 8 \sin 1)
\]となるようだ。
追記(3/16) ↑Maximaの答をそのまま書きましたが、よく見ると、４で約分できますね・・・

というわけで、2次までの展開では、\[
\cos x \simeq (\sin 1) P_0(x) + \frac{5}{4} (12 \cos 1 - 8 \sin 1) P_2(x)
\tag{1}
\]となることが分かった。

Pn を書き下すと、\[
\cos x \simeq \sin 1 + \frac{5}{8} (12 \cos 1 - 8 \sin 1)(3x^2-1)
\tag{2}
\]グラフにして、厳密な cos x と比較してみると、

おお、2次までの展開でもかなり合ってますね！

しかし、予想では、厳密にテーラー展開\[
\cos x \simeq 1 - \frac{1}{2} x^2
\tag{3}
\]に一致するのかと思っていたのだけど、そうはならないらしい・・・

もちろん、当然ですが、
sin 1 や cos 1 の近似値を入れると、近い値にはなるようです。\[
\cos x \simeq 0.99655861483633-0.46526289008529 x^2
\]

2次までの展開と言っても、この場合は、
n > 2 の Pn にも、$x^2$ の項は無限に含まれていくので、
それらの項もすべて足しあわすことができれば、テーラー展開に一致するんでしょうか？

どうやって計算したらいいか分かりませんが・・・

とりあえず、実用的には、直交多項式展開の要領が分かってきた気がします。

ルジャンドル多項式で遊ぶ記事は、ひょっとすると、もう少し続けるかもしれません。
一つ、気になってることがあるので・・・