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古典場のラグランジュ形式(4元表記)

以前やった古典場のラグランジュ形式

4元表記にも少しふれましたが、初めから4元表記で導出すると、
時間微分と空間微分が統一できて、スッキリしているので、
今回はその方針でやってみます。

x を4元的な座標として、場を $\phi(x)$ とする。
ラグランジアン密度を $\mathscr{L}(\phi, \partial_\mu \phi)$ とする。
$\partial_\mu \phi$ には空間微分と時間微分が含まれている。

作用は、\[
S = \int_\Omega \mathscr{L}(\phi, \partial_\mu \phi) d^4x
\tag{1}
\]となる。
場の変分を $\delta\phi(x)$ として、境界Ω上では、$\delta\phi(x) = 0$ とする。
作用の変化は、\[
\delta S = \int_\Omega \left[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi} \delta\phi
+ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\mu \delta\phi
\right] d^4x
\tag{2}
\]第2項を部分積分すると、\[
\delta S = \int_\Omega \left[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi}
- \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right)
\right] \delta\phi d^4x
\tag{3}
\]作用が変分に対して、停留値を取ることを要請すると、$\delta S = 0$。
積分領域Ωは任意だから、[ ] の中身がゼロ。すなわち、
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi}
- \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right)
= 0
\tag{4}
\]オイラー・ラグランジュの方程式が得られる。

参考文献
[1] 柏 太郎 「新版 演習 場の量子論」
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物理>場の量子論 | コメント(0) | 2015/03/16 12:41
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