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古典場のネーターの定理 (3)

並進対称性の例を考えてみる。
無限小並進変換(ε は無限小の定数、$S^\mu$ は定数ベクトル)\[
x'^\mu = x^\mu + \varepsilon S^\mu
\tag{1}
\]によって、場が不変(スカラー)となる場合を考える。

ちなみに、文献 [1] などでは、無限小変分をそのまま、$\varepsilon^\mu$ としているが、
以前の質点系のネーターの定理と比較しやすいように、
ここでは、我流でこのように置いてみた(S は作用とは無関係)。

場がスカラーであるということは、\[
\phi'(x') = \phi(x)
\tag{2}
\]を意味し、$\delta \phi = 0$ である。
リー微分は、\[
\delta^* \phi = -\delta x^\mu \partial_\mu \phi
\tag{3}
\]となり、ネーターカレントは、\[
\delta J^\mu = \delta x^\mu \mathscr{L}
- (\delta x^\nu \partial_\nu \phi) \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}
\tag{4}
\]計量テンソル$g^{\mu\nu}$ を用いると、\[
\delta J^\mu = \delta x_\nu \left\{
g^{\mu\nu} \mathscr{L} - \partial^\nu \phi \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}
\right\}
\tag{5}
\]と変形できる。{・・・}の部分を\[
T^{\mu\nu} \equiv
\partial^\nu \phi \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}
- g^{\mu\nu} \mathscr{L}
\tag{6}
\]と定義して、エネルギー・運動量テンソルと呼ぶ。
結構、重要なものっぽいですね。

これを用いると、ネーターカレントは、\[
\delta J^\mu = - \varepsilon S_\nu T^{\mu\nu}
\tag{7}
\]と表せるから、定数εをはずして、\[
J^\mu = - S_\nu T^{\mu\nu}
\tag{8}
\]となる。
ネーターの保存量は、\[
Q = -\int J^0 d^3x = \int S_\nu T^{0\nu} d^3x
\tag{9}
\]となる(保存量としては、符号は任意なので、マイナスにした)
このあたり、かなり我流の変形なので、怪しいです。

ここで、ベクトル$S_\mu$ が一方向を向いている場合、
つまり一つの成分のみがノンゼロである場合を考えると、\[
P^\mu = \int T^{0\mu} d^3x
\tag{10}
\]が並進対称性に対する基本的な保存量となる。

これの時間成分がエネルギーを表し、空間成分が運動量を表すらしい。
追って、確認していきたいと思います。

参考文献
[1] 柏 太郎 「新版 演習 場の量子論」
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ネーターの定理 | コメント(0) | 2015/03/31 12:28
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