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エネルギー・運動量テンソル

前回、並進対称性のある場合に、ネーターの定理から現れた
エネルギー・運動量テンソルの意味について考えていきます。

この記事は、ほとんど我流ですので、参考文献は載せません。

まずは、エネルギー・運動量テンソルの式。\[
T^{\mu\nu} =
\partial^\nu \phi \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}
- g^{\mu\nu} \mathscr{L}
\tag{1}
\]
ネーターの定理から、並進対称性により、
以下の量が保存することが分かった。\[
P^\mu = \int T^{0\mu} d^3x
\tag{2}
\]
この時間成分と空間成分はそれぞれ、エネルギーと運動量を意味するらしい。
それについて、確かめてみる。\[
T^{0\mu} =
\partial^\mu \phi \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_0 \phi)}
- g^{0\mu} \mathscr{L}
\tag{3}
\]
まずは、時間成分。\[
T^{00} =
\dot{\phi} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\phi}} - \mathscr{L}
\tag{4}
\]これは、ハミルトニアン密度であり、空間積分したものは、ハミルトニアンになるから、
確かにエネルギーになっている。

この保存量は、時間方向への並進変換に対して出てきたものだから、
質点系において、時間の一様性からエネルギー保存則が導かれる
事実にもきちんと対応している。

次は空間成分。\[
T^{0\mu} =
c \partial^\mu \phi \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\phi}}
\tag{5}
\]
これは、何でしょう???\[
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{\phi}} = \pi
\tag{6}
\]は、$\phi$ に対する正準運動量ですが、おまけでついてくる $\partial^\mu \phi$ は?
これで、運動量のμ成分を取り出したことになるんでしょうか?

そもそも、場の考え方では、質点系と違って、
どの方向に粒子が運動したかと考えるのは難しいですからね。

場の考え方において、運動量をどう考えるべきか、
勉強する必要がありそうです。
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ネーターの定理 | コメント(0) | 2015/04/01 23:30
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